Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Электрохимия -> Абрагам А. -> "Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов Том 2" -> 10

Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов Том 2 - Абрагам А.

Абрагам А., Блини Б. Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов Том 2 — М.: Мир, 1973. — 350 c.
Скачать (прямая ссылка): elektronnieparametri1973.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 123 >> Следующая


В дальнейшем будут использованы следующие теоремы, большинство которых мы просто сформулируем.

а) Матрица Mf коммутирующая со всеми матрицами неприводимого представления, кратна единичной матрице.

б) Для двух неэквивалентных неприводимых представлений 2){ и к)2 конечной группы G имеют место следующие соотношения ортогональности:

2 Dit ik (S) D2t ц (S) = 0, ' (12.7)

s

где суммирование проводится по всем элементам S группы, а индексы /, /, k, / принимают любые возможные значения.

Одним из неприводимых представлений любой группы является единичное представление, в котором каждому элементу группы соответствует умножение на число 1. Поэтому можно в качестве SD2 в равенстве (12.7) взять единичное представление и получить соотношение

S Dliift (S) = O. (12.8)

s

в) Для каждого неприводимого представления ZD размерности р имеет место соотношение

2 Dik (S)Db (S) = f б, Al, (12.9)

s

где т — число элементов группы, называемое также порядком группы. Для группы вращений, являющейся бесконечной группой, соотношения ортогональности (12.7) и (12.9) остаются справедливыми, если заменить сумму по элементам группы подходящим интегралом. Можно показать, что при определении вращений R с помощью трех углов Эйлера а, ? и у соотношение зо

часть iii. теоретический обзор

(12.9) переписывается в виде

2я 2я я

j da \ dy J Dh (a, ?, Y)o//(a, ?, Y) sin ? rf? = 6,/6« . (12.10)

г) Следы матриц линейного представления называются характерами и обозначаются символом %. Поскольку след матрицы не меняется при преобразовании подобия типа (12.5), два эквивалентных представления обладают одинаковыми наборами характеров. Исходя из равенств (12.7) и (12.9), мы сразу получаем соотношения

Ux1(S)^(S)-Of \

І. (12.11) 2 X1 (S) х; (S) = т.

S

Понятие характера тесно связано с понятием класса Говорят, что два элемента А и В группы относятся к одному и тому же классу, если в группе содержится такой элемент С, что выполняется равенство

B = CAC"1. (12.12)

Например, два вращения Л и ІЗ на один и тот же угол, но вокруг разных осей X н У, относятся к одному классу при условии, что элемент С в выражении (12.12) является поворотом, преобразующим ось X в ось У. Из определения (12.12) вытекает, что единичный элемент группы сам по себе составляет класс. Из этого же определения следует, что все матрицы линейного представления, относящиеся к одному и тому же классу, обладают одинаковым характером.

Если в группе содержится г различных классов CW и в классе CW содержится gh элементов, то соотношения (12.11) можно переписать в виде

S Xf1Vft = Of

V (12.13)

2 X\k)%[k)*gk = т.

k=\

д) В квантовой механике вообще и в теории парамагнитного резонанса в частности чрезвычайно важную роль играет проблема нахождения всех неприводимых представлений группы G. Пусть 2)и • • •, являются неэквивалентными неприводимыми представлениями конечной группы G, состоящей из г классов. Убедимся в том, что число I конечно. В г-мерном пространстве S рассмотрим / векторов Хь X2, X/, причем гл. 12. основные положения теории групп

31

компонентами вектора X^ являются г чисел

tf'/?.

где k = 1, 2, *.., г. Из соотношения (12.13) вытекает, что эти векторы ортогональны и потому линейно независимы. Число их не может превышать числа измерений пространства г, т. е. / ^ г. Можно показать также (мы примем это без доказательства),что /^r и, таким образом, I = г; иными словами, число неэквивалентных неприводимых представлений конечной группы равно числу классов этой группы.

Обозначим через /1, I2, ..., Ir размерности г неприводимых представлений

SDu SD29 ..., SDr.

Рассмотрим одно из этих представлений SDp и т матричных элементов DptIj(S)i соответствующих т элементам S группы. Эти т чисел можно считать компонентами вектора ХрЛ/ некоторого m-мерного пространства <8. Из формулы (12.7) видно, что все такие векторы ортогональны и, следовательно, общее число их /1 + /2+ ... +/? не может быть больше размерности т пространства <g\ совпадающей с порядком группы.

Опять можно показать, что имеет место равенство

ІІ+ Il+ ... +/? = т, (12.14)

которое мы также примем без доказательства.

§ 4. Разложение представления и вычисление характеров неприводимых представлений

Предположим, что нам известны характеры всех неприводимых представлений группы G, и пусть SD — некоторое приводимое представление. Мы хотим найти числа аи а2, ..., ar, указывающие, сколько раз каждое неприводимое представление SDi содержится в 3). Пусть %(S)—характер преобразования S в представлении 2D, a •••» Xr(S)—характеры этого же

преобразования в неприводимых представлениях SDi. Из самих определений приводимости и характеров следует, что

Х(5)=І1 адр(5). (12.15)

P= 1

Умножая обе части равенства (12.15) на %*q (S), где индекс q равен одному из чисел 1, 2, ..., г, и суммируя затем по всем элементам S группы, получим с использованием соотношения 32 ЧАСТЬ iii. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ОБЗОР

(12.11) следующее выражение:

т

o«=45>sK<s)> <12Л6)
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 123 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама