Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Электрохимия -> Абрагам А. -> "Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов Том 2" -> 15

Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов Том 2 - Абрагам А.

Абрагам А., Блини Б. Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов Том 2 — М.: Мир, 1973. — 350 c.
Скачать (прямая ссылка): elektronnieparametri1973.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 123 >> Следующая


Поскольку оператор Jz коммутирует с J2, эти состояния можно выбрать так, чтобы величина Jz имела для них определенное значение Jz = т\ при этом оказывается, что т может принимать значения т = /, / — 1, ..., —}. Если взять в качестве базиса собственные функции "vF7tw = I/, т) операторов J2 и JZy то фазы этих функций можно подобрать таким образом, что

</, m\J±\u m + 1} = {/(/ + 1) — m(m =P 1)}V*, (13.2а) где J± = Jx ± iJy И, кроме того,

</, m\Jz \ /, m) = m# (13.26)

Соотношения коммутации являются следствием того, что при бесконечно малом повороте на угол є вокруг, скажем, оси Ozt волновая функция xV преобразуется в функцию

ф = (1 (13.3)

В самом деле, хотя определение (13.1) оператора J является более привычным, логичнее было бы вывести его как следствие соотношения (13.3). Из этого соотношения вытекает, что поворот на конечный угол ф вокруг оси, направленной вдоль единичного вектора п, преобразует функцию xV в функцию

Ф = е-І<9( n.J)ljre (13e4) 44

часть iii. теоретический обзор

Поскольку оператор J2 коммутирует с тремя компонентами вектора J, он коммутирует также со всеми операторами поворотов R = ехр {—/ф(п-Л)}. Отсюда вытекает, что функция RxVjitny как и функция xVjftn, является собственной для оператора J2, и поскольку мы имеем (2/ + 1) линейно независимых функций xVj, т> ТО

R1Pftm= 2 Dln-miR^Um-. (13.5)

Все 2/+1 функций xVjtfni индекс т которых принимает значения /, /—1, ..., —/, осуществляют представление группы вращений размерности 2/+ 1, которое обозначается SDK Можно показать, что эти представления неприводимы и что других неприводимых представлений группы вращений не существует. Часто оказывается удобным различать вращения с помощью известных углов Эйлера, которые уже упоминались в § 3 гл. 12.

С помощью наглядных геометрических соображений можно показать (см., например, [5]), что вращению, определенному углами Эйлера, соответствует оператор

R (а, ?, у) = e-M'e-Wye-™*. (13.6)

§ 2. Неприводимые представления группы вращений

Рассмотрим подробнее случай, когда / = 1I2 и выражение (13.6) можно переписать в виде

R (a, pf у) = е-1ШаЧ-1ШаУе-*"т\ (13.7)

где Ox, cfy, Oz — известные матрицы Паули. Нетрудно показать, что матрица оператора (13.7), получаемая при помощи функций Yjj7n, где ^= V2, т — ± 7г, имеет вид

/ e-U(a+Y)/2]C0Sl _ e-*[<a-Y)/21 sjn ?.N

DV2(*> ?, Y)= ? ? J. (13.8)

У ei l(a-Y)/2] sJn P. ei [(a+Y)/2] cos JL

Это выражение сразу вытекает из равенства (13.7), если принять во внимание, что

e~i (?/2) Oy _ cos _? __ sjn ^ (ад

Мы видим, что матрица (13.8) унитарна (как и должно быть, поскольку она соответствует унитарному оператору) и определитель матрицы равен единице. И наоборот, можно показать, гл. 13. группа вращений

45

что всякая унитарная матрица Ui определитель которой равен единице, может быть представлена в виде (13.8). Такая матрица, кроме того, часто записывается как

I*)' aa* + bb*= 1, (13.10)

откуда явно видны ее свойства; можно переписать (13.10) следующим образом:

I а7 + i?7 Y7 + io7 [ - Y7 + й7 а7 - *?7 причем а/2 + ?/2 + y/2 + o/2 = 1, или в операторной форме

а7 + Ф7<т* + й7 о X + iy'Oy. (13.12)

Унитарные матрицы и, определители которых равны единице, очевидно, образуют группу Ui называемую унитарной уни-модулярной группой. Таким образом, мы можем сказать, что группы U и совпадают. Соответствие между этой группой и группой пространственных вращений устанавливается следующим образом: каждую эрмитову матрицу h второго порядка со следом, равным нулю, можно записать в виде

/ z x — iy\ h = v .а = х0х + у0у + 20г = ух+ J9 (13.13)

где коэффициенты Xi у, z вещественны; определитель этой матрицы равен —(х2 + У2 + г2)- Рассмотрим матрицу

h' = uhu+, (13.14)

где и — унитарная унимодулярная матрица. Матрица Wi очевидно, эрмитова, и след ее равен нулю. Поэтому ее можно записать в виде

W = х'ох + у'оу + ZfOz = г7 • а,

где х\ у'', Zr — вещественные коэффициенты; согласно соотношению (13.14), они являются линейными функциями ОТ Xi у, Zi причем коэффициенты в этих функциях обязательно вещественные и каким-то образом (нам не обязательно уточнять, каким именно) зависят от элементов матрицы и. Определитель матрицы A7, -—(я7 +у7 + г7), равен определителю матрицы hy — (х2 + У2 + г2)- Отсюда ясно, что величины Xri у7, Zr и Xi IJi Z связаны между собой благодаря соотношению (13.14) (r' = = Rur) при помощи действительной ортогональной матрицы. Нетрудно проверить прямым вычислением, что определитель этой матрицы равен +1, и поэтому она описывает пространственный поворот.

(13.11) 46

часть iii. теоретический обзор

Исходя из соотношений

h = г • a, W = uhu+ = Tf а, г' = RuT9

получаем

h" = VhfV+ = (Vuhu+V+) = г" - а

или

т" = R0Tf = RvRuT9

откуда следует, что если матрице и соответствует вращение Rut а матрице v — вращение Rvt то произведению uv соответствует вращение RuRv С другой стороны, соответствие между матрицей и и вращением Ru не является взаимно однозначным, поскольку из соотношения (13.14), определяющего матрицу Ru, явствует, что при замене матрицы и на —и матрица h не меняется, а потому не меняется и матрица Ru- Таким образом, каждому повороту Ru отвечают две матрицы, и и —и. В частности, единичному элементу группы вращений соответствуют две матрицы (1I) и ("^-i). Поэтому, строго говоря, не является представлением группы пространственных вращений; его относят к двузначным представлениям. Очень ясно это проявляется в формуле (13.8), поскольку, скажем, добавление 2я к углу а, возвращающее систему (или оси координат) в исходное положение, заменяет матрицу D4i на — Dv*. Изменение знака волновой функции в результате вращения на угол 2я нельзя считать парадоксом. Значение волновой функции xV не является физически наблюдаемой величиной в противоположность, например, величине I1Fl2, которая является наблюдаемой и на самом деле не меняется при повороте на угол 2я. Такая же двузначность присуща всем представлениям Di при /, равном половине нечетного целого числа (для краткости мы будем называть такие числа полуцелыми). Легче всего можно убедиться в этом путем рассмотрения вращений вокруг оси z, когда оператор поворота может быть представлен в виде ехр(—i'<pJz). Под действием этого оператора волновая функция |/, т) умножается на величину ехр(—щт), которая равна —1 при ф = 2я и полуцелом /.
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 123 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама