Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Абаренков И.В. -> "Начала квантовой химии" -> 3

Начала квантовой химии - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Братцев В.Ф., Тулуб А.В. Начала квантовой химии — М.: Высшая школа, 1989. — 303 c.
ISBN 5-06-000492-9
Скачать (прямая ссылка): nachalakvantovoyfiziki1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 107 >> Следующая


(Ui, ф2) = (Ьф2,*,)•; <ф2 |L|фх> = <фх \Ь\ф2>*. (1.14)

А

Оператор L называют самосопряженным или эрмитовским (эрмитовым),если

L^ = L. А (1.15)

Оператор U называют унитарным, если

^ А,, Л Л Л 4

Ulf = U+U = I, (1.16)

Л

где I — единичный оператор.

1OrMeTHM, что в конечномерном случае достаточно для определения U использовать т<эл?ко одно из произведений в равенстве (1.16). В гильбертовом пространстве из U+U = I не вытекает О U =1.

7
Если в пространстве Ж задан ортонормированный базис ех, е„, то линейному оператору t, соответствует матрица L с элементами:

L*/ = (Lei, ^k) = <?к IL\ei>. (1.17)

Это означает, что равенство (1.12) можно записать в виде

Ък = SL кісі,

где Ьк и Ck — координаты в ортонормированном базисе ех.......еп векто-

ров ф Htp соответственно.

Эрмитовски сопряженным операторам соответствуют эрмитовски сопряженные матрицы, эрмитовскому оператору соответствует эрми-товская матрица, унитарному — унитарная.

Одному и тому же оператору 1, в разных ортонормированных базисах ек и e'k соответствуют разные матрицы L и L', которые связаны между собой преобразованием подобия:

L1 = U-1LU, (1.18)

где U — унитарная матрица с матричными элементами (1.8).

Если в Ж задана ортонормированная система ех, ет (т < и) и матрица L с элементами L^/ (к, I = 1,2, ..., т), то тем самым задан линейный оператор L в подпространстве Ж', натянутом на вектора ех, ..., ет, как на базис.

Пусть пространство Ж размерности п представлено в виде прямой суммы т подпространств

=W1 © W2 © ...0 Wm

размерностью

M1 + пг + ... + пт = п.

Введем в каждом подпространстве W* свой ортонормированный базис eks (s = I, 2, ..., Uk)- Тогда система векторов e\s ($ = 1, 2, ..., W1), e2s (s = I, 2, ..., n2), ..., ems (s = 1,2, ..., пт) образует ортонормированный

А

базис в W. Матрица L, соответствующая оператору L в таком базисе, записывается в виде блочной матрицы:

L =

«1 «2 пт 1
Li і L12 ... Lim \«1
Ui L2 2 • • ¦ L 2 т I «2
Lm і Lm 2 Lmm J I Wm

т.е. матрицы, элементами которой являются не числа, а блоки. Блок с индексами к1 есть прямоугольная матрица, с% - число строк, с и/ — число столбцов, матричные элементы которой —

8
(L*' } St = Lks. It = (Le/f, eks) = <?ks |Lk/f >,

^ 1,2,...,nk, t 1,2,...,/2/.

С блочными матрицами можно работать по тем же формальным правилам, как и с обычными числовыми матрицами, если помнить, что в отличие от обычных матриц элементы блочной матрицы некоммутативны (неперестановочны), так как они сами являются матрицами.,

Подпространство Ж' в Ж называется инвариактным относительно оператора L, если из ф E Ж1 следует L ф ЕЖ'. Если Ж' инвариантно относительно самосопряженного оператора L, то и ортогональное дополнение к Ж' инвариантно относительно L.

Если пространство Ж представлено в виде прямой суммы подпространств, инвариантных относительно L, то блочная матрица этого оператора будет блочно диагональной, т.е. все не диагональные блоки представляют собой нулевые матрицы. В этом случае диагональный блок будет определять в инвариантном^ подпространстве оператор, который называется сужением оператора L на инвариантное подпространство.

Если подпространство, инвариантное относительно L, одномерно, то сужение L есть просто оператор растяжения

L ф = \ф.

В этом случае вектор ф называют собственным вектором, а число X — собственным числом оператора L. (В иной терминологии — собственная функция и собственное значение.)

B4 случае бесконечномерного гильбертова пространства Ж у оператора L кроме собственных чисел, совокупность которых образует так называемый дискретный спектр, может быть и сплошной спектр, который здесь не рассматривается. А

В случае линейного самосопряженного оператора L с чисто дискретным спектром все пространство Ж можно представить в виде прямой суммы одномерных инвариантных относительно L пространств. Это означает, что можноАввести такой ортонормированный базис, в котором матрица оператора L будет диагональна. Элементами этогоАортонорми-рованного базиса являются собственные вектора оператора^, а элементами диагональной^матрицы — собственные числа оператора L.

Если оператор L задан матрицей L в базисе ех, .... еп, то переход к базису е\,.... е'п

е'к=% и]Ijeji

J = і

л

в котором матрица оператора L диагональна, осуществляется с помощью унитарной матрицы U; ее столбцы являются собственными векторами

9
матрицы L:

ELfyU/, = XtUkt; І

(1.20)

к, t = 1,2,..., п. Матрица L' =U-1LU

(1.21)

является диагональной, и на ее диагонали стоят собственные числа Xf матрицы L, т.е. собственные числа оператора L.

Если т собственных чисел оператора L совпадают межд^у собой, то соответствующие одномерные инвариантные относительно L подпространства однозначно не определяются. Однозначну определяется только их прямая сумма, т.е. инвариантное относительно L подпространство размерности, равной кратности вырождения т собственного числа.

Функции от операторов

Л

Рассмотрим оператор проектирования Pr , который любому вектору ф из JC сопоставляет его (ортогональную) проекцию [см. (1.10)] на подпространство R в JC:
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 107 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама