Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Абаренков И.В. -> "Начала квантовой химии" -> 38

Начала квантовой химии - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Братцев В.Ф., Тулуб А.В. Начала квантовой химии — М.: Высшая школа, 1989. — 303 c.
ISBN 5-06-000492-9
Скачать (прямая ссылка): nachalakvantovoyfiziki1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 107 >> Следующая


Пусть далее I2 — единичная 2x2 матрица. Образуем прямое произведение Э1их матриц но формуле

а * = T3 ® T3 (S) ... ® I2 © ...

Построенные таким образом матрицы а* удовлетворяют перестановочным соотношениям (2.117). Проверим это утверждение на пример матриц а2 и а3:

а2 = T3 ® а (х) I2 ® I2 ® ... = А ® Iq,

а3 = T3 ® T3 ® a ® I2 ® ... = В ® Iq.

Используя свойство прямого произведения матриц (U, ф Vi) (U2 (E) (x)V2) = (UiU2) ® (V1V2), находим после некоторых вычислений

AB + BA = 0.

Введем матрицу at, эрмитовски сопряженную л*. Согласно соотношению (U © V/ = 1/? V+ и эрмитовости матрицы т3 получим

a* = T3 ® T3 ® ... ® a* ® I2 ®...,

где

Используя свойства прямого произведения матриц, находим подобным способом следующие коммутационные соотношения для а* и а):

a* aj + а)а* = 6*/. а* а/+ а+/а* = 0 (2.119)

Определим на системе базисных векторов |«,( п2, .... пк ..^операторы а^ таким образом, чтобы коммутационные соотношения для операторов а^ и ау совпали бы с коммутационными соотношениями для

108
матриц (2.119), полагая при этом, что операторы а* определены соотношением (2.114). Введем с этой целью оператор

j а*|н,,..., w*. ...> = (1 - н*)І«і....и* + 1,...>. (2 120)

Согласно определению (2.120)

а*как Iw,,..., пк. ...> = w*|w,.w*, ...>,

о^а^|иь .... пк, ...>=(! -н*)І«і....«*,->

и, следовательно, ака\ + а\ак = L

Ьсли индексы у операторов ак и а/ не совпадают, то эти операторы действуют на различные переменные и, следовательно,

ака) — а*[йк =0, кФ1.

Введем операторы

*k = vk-,al=vkak- (2Л21>

В выражении (2.121) принято во внимание, что отличные от нуля матричные элементы а*к возникнут лишь при условии пк — 0, т.е. при (1 — 2пк) = 1, и поэтому в (2.121) знаковая функция Vk может быть заменена на Vk. Идем далее:

Г Wkfa

I - W/<

Vkvk°4ak

а/а* ~vl°4bkvk ” ^ -VkVfitiOik для к <1.

Отсюда убеждаемся в справедливости коммутационных отношении (2.119) теперь уже для операторов а* и а^, определенных формулами

(2.113), (2.114), (2.120) и (2.121). Оператору а* можно приписать смысл оператора уничтожения, а а^ — оператора рождения электрона в состоянии к. Введем оператор

Ч^(х) = 2 Ф^(Ф*к = 2 <А|лг>а* . (2.122)

к к

где — полная ортонормированная система функций

ЪФк(хЖ (X) = BQc-X'). к К

Операторы '!'(х) и Ф*(д:) удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
0(х), *(x')} = №(х), ф*(х')} = О, {*(x), tf(x') } = 6(л - х').

(2.123)

(2.124)

Напомним, что под х понимается совокупность пространственных и спиновых переменных, под 6(х - Xі) в (2.124) следует понимать 6 аа, 6(г — г).

Алгебраические-соотношения (2.117, 2.118) определяют алгебру Грассмана, первоначально возникшую в связи с теорией определителей. Многоэлектронная волновая функция является суперпозицией линейно независимых определителей, в связи с чем возникновение в теорій типичных для алгебры Грассмана отношений не является чем-то неожиданным. Произведение трех операторов аі&2 а з (или их сопряженных) обладают теми же свойствами, что и альтернированное произведение векторов:

(ViV2V3) = (V2V3V1) = (V3V1V2) =

= -(V2 V1 V3) — (V1V3V2) = -(V3V2 V1).

Пространство Фока

Введем понятие о вакуумном векторе состояния, определяя последний как вектор состояния с равными нулю числами заполнения

что эквивалентно %S20 = 0 для всех значений к. Базисные векторы с равными единице числами заполнения могут быть получены из ?20 согласно

С учетом соотношения (2.126) перепишем разложение (2.112) в виде

Производя последующие разложения определителя по второму, третьему и последующим строкам, приходим к следующей форме записи определителя:

Из перестановочных соотношений (2.123) вытекает требуемая антисимметрия Dpl p^(xit ..., хм) относительно перестановки строк аргументов Xll х2, хдг, а из перестановочных соотношений (2.119) — требуемая антисимметричность Dpi pN(xь хдг) относительно пере-

становки индексов р1г р2, ..., Pm . Форма записи определителя (2.127) позволяет представить волновую функцию (2.108) в виде

fio — IO5 0, 0, ...

(2.125)

(2.126)

DP іPi і1 ^n) •••» Хдг|^(х1 )|3рj Яр^ •••

dPiP2-PN1

(*1, X2, ..., Хдг)

yJWl

<П0 I^(Xiv) ... V(xx)a+pr.a*pNn0>.

(2.127)

Фм(X1,..., хм) = у=г- <П01^(хдг) ... '!'(хОПд^,

(2.128)

110
I где положено

SIn = E C(nlt W2, ...,пк, —)|«і, п2,..., rtfc,... >. (2.129)

И =N

Выразим (2.129) через многоэлектронную функцию путем обращения формулы (2.128):

SijV=-T=- /^(хь x^)^+(xx) ... ^+(x^)j20dxi ... йхм. (2.130)

л/Nl

Введем оператор частиц N по формуле

N = Sa+^ajt= /Ф+(*Ж*)с1*. (2.131)

Ic

Вектор состояния Ї2дг в представлении вторичного квантования является по построению собственным вектором оператора N:

NS^v =NQjy.

Из перестановочных соотношений (2.123) и (2.124) вытекает

№), N] = Щх), [V+(x), N] = -Ф+(х).

Используя эти коммутационные соотношения, убеждаемся, что у операторов '!'(х) и Ф+ (х) будут отличны от нуля матричные элементы вида

<Цлг_ііФ(х)|П*>, <П*|?*(х)|П*_1>
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 107 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама