Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Абаренков И.В. -> "Начала квантовой химии" -> 4

Начала квантовой химии - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Братцев В.Ф., Тулуб А.В. Начала квантовой химии — М.: Высшая школа, 1989. — 303 c.
ISBN 5-06-000492-9
Скачать (прямая ссылка): nachalakvantovoyfiziki1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 107 >> Следующая


Оказывается, что любой оператор, удовлетворяющий (1.23) и (1.24), есть оператор проектирования на какое-то подпространство.

Пусть размерность JCесть и, размерность R- т. Введем ортонормированный базис Єї, ..., ет в R и ортонормированный базис ет + ь еп в ортогональном дополнении 3CQR. Тогда

Таким образом, собственные числа оператора проектирования есть 1 и 0, причем число единиц равно размерности подпространства R, а число нулей — размерности ортогонального дополнения к R. В указанном 10

Pr ф =ifi, Pr I ф> = I <р>, ф Є JC, tp(=.R.

Оператор проектирования является эрмитовским

(1.22)

(1.23)

и идемпотентным

(1.24)



ек к = 1,2,..., m

vRek= '

(1.25)

0 к =m + 1, ..., п
базисе матрица оператора Рд есть блочная матрица п п—т

I I O 1 т

\0 O / п

блоки которой — единичная І и нулевые О матрицы. Оператор проектирования можно записать в рираковских обозначениях

л т

Pr=J: \екХек1 (1.27)

к=1

Л

Рассмотрим линейный самосопряженный оператор L. Обозначим его собственные вектора (ортонормированные) через фк, а ?го собственные числа — через Xjt. Пусть Pfc — оператор проектирования на одномерное подпространство, образованное ортом фк. Тогда

L=S Х*Р*. (1.28)

к =1

Пусть Дх) — діекоторая функция скалярного аргумента х. Функцией /от оператора L называется оператор

* Дь)= 2 /(Xfc)Pfc- (1.29)

К — I

ЕслиДх) разлагается в степенной ряд

fix) = Zaj xi, . (1.30)

І

то (1.29) сводится к

AL) = Zaj(I)L (1.31)

/

Аналогично вводится и функция от матрицы. Если L — матрица оператора L в базисе е\, ..., еП) то преобразованием подобия (1.21) она приводится к диагональному виду L*, затем строится диагональная матрица AL'), элементами которой являются AXfc), и преобразованием подобия, обратным (1.21), матрица приводится к исходному базису:

/(L) = UZ(L1)IT1. (1-32)

ЕслиДх) имеет вид (1.30), то

AL)= 2 Oj(L)1. (1.33)

/

Например, если f(x) — арифметический квадратный корень из 1 + х, то AL) =VThl= l + i-L-I-L3+^l3-... (1.34)

Отметим, что в случае многозначной функции надо выбирать определенную ветвь [в (1.34) взято арифметическое значение корня].

11
§ 2. ОПЕРАТОРЫ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ J ,

Операторы повышения, понижения; /

оператор квадрата момента

А

Векторный оператор J называется оператором момента количества движения, если его компоненты Jк удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

А А _Л

[Jl , J2 J =

[J2, J3] = IJ,; (135)

л л Л

[¦ІЗ» Jl] = 1^2 •

А

Операторы Jfc действуют в пространстве Ж и предполагаются самосопряженными относительно введенного там скалярного произведения. Пространство Ж — это, как правило, пространство состояний системы. В случае одной бесспиновой частицы элементами пространства Ж являются волновые функции ф(г) = ф(х, у, z), т.е. интегрируемые с квадратом модуля функции трех переменных. Волновая функция одного электрона зависит от четырех аргументов: добавляется спиновая степень свободы, а волновая функция многоэлектронной системы — от многих четверок аргументов, относящихся к отдельным электронам. В еще более сложных случаях пространство состояний может состоять из векторных, или тензорных функций многих переменных И Т.Д.

Можно задать вопрос: Насколько однозначно коммутационные соотношения (1.35) определяют оператор J? Нетрудно убедиться, что полной однозначности нет. Если J — решение уравнений (1.35) при ycnOBjra^ca-мосопряженности компонент, то компоненты оператора U+JU,

где U — произвольный унитарный оператор, также самосопряженные операторы и удовлетворяют соотношениям (1.35).

Оператор J называют неприводимым, если в Ж не существует подпространства Ж', Ж' E Ж, инвариантного относительно всех его трех компонент. В противном случае говорят, что оператор приводил*.

Если оператор момента количества движения J является приводимым и Ж' — его инвариантное подпространство, то ортогональное дополнение Ж" = Ж - Ж' т^сже инвариантно относительно J ихсле^овательно, изучение оператора J сводится к изучению его сужений Ґ и Jn на подпространствах Ж' и Ж", в конечном итоге неприводимым.

Можно доказать, что все неприводимые операторы момента количества движения конечномерны. Для того чтобы найти все неприводимые самосопряженные решения уравнений (1^35), удобно от операторов Jfc

перейти к новым операторам J3 и J± = J1 ± /J2. Можно убедиться, что

А. А А А Л А А А Л

H-) -^3 ] = —•*+» [^-) J3] = J-» [If, J_] = 2J3, (1.36)

А Л

а также J; = J_. Верно и обратное утверждение: из уравнений (1.36) вытекают уравнения (1.31), и если ї? = то Jfc самосопряжены. One-12
раторы Jf и 1_ названы соответственно оператором повышения и оператором понижения. Название и смысл введенных терминов объясняются следующим. Л

Пусть Vm — собственная функция оператора J3, соответствующая собственному значению m: J3^n = . Тогда функция <д. =^J* ^pm либо

равна нулю, либо также есть собственная функция оператора J3, отвечающая собственному значению т + 1. Аналогично функция <?_ = J_ tpm либо равна нулю, либо есть собственная функция J3 с собственным значением т — 1.
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 107 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама