Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Абаренков И.В. -> "Начала квантовой химии" -> 5

Начала квантовой химии - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Братцев В.Ф., Тулуб А.В. Начала квантовой химии — М.: Высшая школа, 1989. — 303 c.
ISBN 5-06-000492-9
Скачать (прямая ссылка): nachalakvantovoyfiziki1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 107 >> Следующая


Введем в рассмотрение оператор квадрата момента количества движения

J1 =? + ? + ?

Он играет важн/ю роль в теории моментов количества движения благодаря следующим его свойствам: л

а) оператор I2 коммутирует со всеми операторами Jfc; к = 1, 2, 3 (следовательно, и с ?±);

б) имеют месго равенства

А Л Aa Лл А

J+J_=J2 -Jl+ J3, (1.37)

J-Jt = I2-H-I3; (1-38)

Л, А- А

в) оператор J в силу неприводимости кратен единичному: У =XI.

Пусть / есть максимальное из собственных значений оператора J3 и

gyсть ipj — соответствующая ему собственная функция. Поскольку J+ ipj = 0, то, пользуясь (1.38), получим X =/(/ + 1). Величина/ называется весом неприводимого момента количества движения.

А Пусть <ф}-\фр> = 1. Если J_tpj Ф 0, то можно подобрать такое Qjt что J- <?/ = OfPj_!> <<?/_ 11<?/ _ і > = 1. Аналогично вводим су_1}

Oj-2 и Т-Д- В силу конечномерности J3 обязательно найдется такое к, при котором J_(Pj= 0. Пользуясь (1.37), будем иметь/(/ + 1) —

— (j — к)2 + (j — к) — 0, следовательно, к = 2/. Отсюда можно сделать выводы: во-первых, вес неприводимого оператора количества движения может быть либо JLienbiM, либо полуцелым, так как число к — целое; во-вторых, оператор J3 имеет 2/ + 1, различное собственное значение m =/,/ — 1,..., -/ и каждому соответствует одна и только одна из (2/ +1) Функций \pj, tpj_ j, ..., \р Этот набор функций представляет собой базиCt того пространства К, в котором действует неприводимый оператор J. В равенствах J_ ^pm = amipm_t константы ат подбирались так, чтоб^і функции ipm были нормированы на единицу. Отсюда IamI2 = = <J_ipm\J_[pm> = /(/ — I) — т(т — 1). Фазовый множитель в произведении QnHPm _ j может произвольным образом распределяться между ат и tpm _ j. Припишем функциям *рт такие относительные фазовые множители, чтобы ат оказались вещественными и положительными. При этом условии оператор J_ действует на базисные функции ipm согласно

13
J-Vm = V/0' + 1) - т(т - О фт _ j. (1.39)

/ч л л

Поскольку J+ = -U-fftnfan + i» т0 вследствие (1.37) оператор 1+ действует на базисные функции согласно (

Іфт = V/(/+l) -т(т + 1 )</>„, + !. (1.40)

Л

Так как ^wi — собственные функции оператора J3,отвечающие собственному значению т, то

J3^i, =Irnpm. (1.41)

Равенстві (1.39) — (1.41) дают общее решение уравнений (1.36) при условии нсприводимости, самосопряженности J3 и взаимной сопряженности і и J. . Каждое решение однозначно характеризуется весом / и действует в пространстве размерности 2/ + j, где существует такой базис, в котором действие операторов J+, J., J3 задастся формулами

(1.39) - () .41). Этот базис называю! каноническим хиисом ш\\ канонической цточкой. Зная действие операторов на функции какого-либо базиса, можно написать их матричное представление. Матричные элементы будем нумеровать индексами т и т', пробегающими 2j + 1 значение от +/' до В зтом случае при заданном/ матрица, соответствующая J+, строится следующим образом: нужно вычислить последовательность чисел ат — \/i(f + I) — гп(т — 1) при т — j, } — 1,..., - / + 1 и поставить ее над диагональю матрицы. Остальные элементы мітрицьі положить равными нулю. Поскольку J_ = Jt, то матрица, соответствующая J_, получается из матрицы ірансмонированиіїм, т.е. те же Cttn располагаются иод ипгопалыо. В соответсівии с ^(1.4Ґ) матрица J3 диагональна и СЬ)гот” Матрицы, отвечающие Ji и J2, вычисляются, если принять во внимание, что

1.=-1-(1*+J-). J2=-JfU -J-). (1.42)

Тогда

J2 -/tf+1)1-

Рассмотрим в качестве примера оператор неприводимого момента количества движения с весом / = 1 и посіроим матрицы этого оператора в каноническом базисе. В зтом случае т ** 1, 0, —1; Oi = а0 = V2 и

J+ = I 0 0 v2 I ; J_ =

(о о о\

s/ї О О ,

о Vi о I

где использован следующий порядок расположения матричных элементов » матрицы:

/ А11 А і о А і _i

А — I A01 Лоо «^o-i

У А |, Л_ю Al^i

14
\

0“сюда согласно (1.42)

(оіо\ /о іо\ Л о о \

1 о I I; J2 = -Li-I 0 1; J3= І 0 0 0 І

О 1 О/ 'N^2XO -10/ \0 О I I

Возводя в квадрат эти матрицы, можно проверить, что

/1 0 0\ (0 10 =21. \0 0 1/

Канонический базис

А

В общем случае оператор момента количества движения J есть прямая сумма неприводимых, т.е. все пространство JC, в котором деисівует оператор J, разлагается в прямую сумму подпространств JC7/, инвариантных относительно оператора, а его сужение 1(7/)“ на JC7/ является неприводимым оператором момента количества движения веса/:

JC= 2+JC7/, (1.43)

7/

J=?©JW>. (1.44)

УІ

Оператор 3^ (1-44) одного и того же веса / может встречаться неоднократно. Такие однотипные (эквивалентные) операторы различаются индексом у.

Осуществить разложение [ (1.43), j(1.44)J можно двумя способами.

В первом способе строится оператор J2 = Jf + + J^, находятся его

собственные значения Л/ = / (/' + 1) и отвечающие им собственные подпространства. Тем самым все пространство TC будет представлено в виде прямой суммы подпространства :

JC = JC/. (1.45)

В силу того, что I p. Jtl= 0, каждое J^ инвариантно относительно J и разложению (1.45) сопутствует разложение
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 107 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама