Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Абаренков И.В. -> "Начала квантовой химии" -> 6

Начала квантовой химии - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Братцев В.Ф., Тулуб А.В. Начала квантовой химии — М.: Высшая школа, 1989. — 303 c.
ISBN 5-06-000492-9
Скачать (прямая ссылка): nachalakvantovoyfiziki1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 107 >> Следующая


J = (1.46)

J

где J^ — сужение J на JC/. Операторы J^* могут быть приводимыми. Чтобы найти их инвариантные подпространства, сначала построим для каждого знач ния / в пределах JC/ ортонормированныи полный набор решении уравнения

=fo-,n- (I -47)

Затем от каждой функции <ру/: лого набора, действуя оператором J^1

строим каноническую цепочку <?7/т> т “ h —* І- Обозначим через JC7/ линеиную оболочку цепочки, а через Jf7^ сужение J^) на JC7/. Оче-

15
ВИДНО, ЧТО неприводим, I

Щ = Х®Ж7/ (1.8)

7

и соответственно

JW = S ® J^. (1.49)

7

В сочетании (1.49) с (1.45) получаем [(1.43^, (1.44)]. Заметим, что уравнение (1.47) можно заменить уравнением J^iPyjj = 0.

Объединение всех канонических цепочек образует ортонормированный базис всего пространства

1P ~ ? стjm iPyjnif суjm = "^kP у jm I

7/m "

если у Є Ж. Такой базис называют каноническим. Следует подчеркнуть, что канонический базис определен далеко неоднозначно. Функции

Wm = XcQvyitn (1.50)

также образуют канонический базис, если матрицы = { су2 ) Унитарны. Этот факт обусловлен неоднозначностью в построении ортонор-мированного набора решений уравнения (1.47).

Второй способ построения канонического базиса заключается в следующем. Найдем все решения уравнения J +<? =0. Они образуют некоторое лп?дпространство Ж+. Согласно (1.36), если V Є Ж+, то J+(JW) = = (JaJ+ — J1-V и, следовательно, J3^ Є Ж+. Рассмотрим сужение J3 на

Ж+ и найдем в пределах Ж+ полную ортонормированную систему его

собственных функций ^yjj. Для каждой функции этой системы строим

Л

свою каноническую цепочку, используя оператор J_ . Их объединение дает канонический базис.

Орбитальный момент количества движения

Рассмотрим некоторые конкретные операторы момента количества движения, а именно выраженный в атомных единицах (а.е.)2 оператор орбитального момента количества движения

1 = -і[гХ^], (1.51)

где Sj — (дідх, д/Ъу, д/Ъг).

Непосредственным вычислением легко проверить, что компоненты

2Переход от атомных (безразмерных) единиц к размерным см. Приложение.

16
\ ъу 7 Зї/

удовлетворяют перестановочным соотношениям (1.35). Ограничимся бесспиновыми частицами. Это означает, что пространство состояний такой частицы JC есть пространство скалярных, интегрируемых с квадратор модуля функций ф(х, у, z). Задача заключается в том, чтобы выяснить, на какие неприводимые составляющие разлагается оператор 1, и построить канонический базис в пространстве Ж. Функции этого базиса

обозначим через Фуіт. Задачу удобно решать в сферической системе координат:

х — /"sint? COSi^,

у — T sin $ sin ¦

z =rcos$,

где 0<#<7г; О < </> < 27г; О < г < °? После довольно громоздких преобразований для операторов повышения I+, понижения L и оператора T3 будем иметь:

U-* (? ¦ /<**-?),

(1.52)

Л Л

I3=-і»

Ъ\р

Воспользуемся вторым способом построения канонического базиса [11] Согласно этому методу сначала нужно найти ортонормированный набор решений уравнений

Т^т" = ¦ '«g* *у11 = О, (1.53)

*3 Ф7ц = -І Фуц = tyyll- (1 -54)

Из уравнения (1.54) следует, что в состоянии фуц частица обладает определенной z-проекцией I орбительного момента количества движения. Это отмечено третьим индексом у функции фуц. Уравнение (1.53) утверждает, что эта проекция максимальна, и, следовательно, в состоянии ФуIl частица обладает также определенным моментом, который равен /. Необходимость индекса у будет ясна только в процессе решения системы уравнений [(1.53), (1.54)]. Если существует одно решение, то индекс 7 не нужен; если же система уравнений обладает несколькими линейно независимыми решениями, то индексе 7лнужен, чтобы отличить эти решения друг от друга. Оба оператора If и T3 действуют только на угловые переменные. Поэтому функция вида фуц = Rj(r)Yu(d, ф), какова бы ни

17
была функция Ry(r), будет решением уравнений [(1.53), (1.54)], если Yu является решением уравнений j

{*+ ун = °- (1'55>

-Ї-2- Yu = IYu. (1.56)

Ъ\р

Пусть Rryir) — ортонормированная последовательность радиальных функций. Каждое решение Yn порождает бесконечно много решений RyYu уравнений [(1.53), (1.54)].

Из (1.56) следует, что Yn имеет вид

Y„(&, ?) =/,,(0)-^, (157)

причем из-за самосопряженности оператора -/ — число I должно быть

дір

целым. Уравнение для ///($) получают при подстановке (1.57) в (1.55):

- Zctg,?]/= 0. (1.58)

Общее решение (1.58): fu(d)=a Sin7I?,

и это единственное (с точностью до множителя) решение. Константу а находят из условия нормировки

а2 //^(?)sm?d# = a2 /sin2*+1 — а2 ~^2/ + = * *

причем фазовый множитель обычно полагают равным (—1)е. Таким образом,

Г„(&, *>) =1^-^(2/+1) sin'tf .

Te

При т < I функции Yim находят в соответствии с общей формулой

(1.39) с помощью оператора 1_:

-e-iif + CtgtM3 } Ylm = а„, Ytm _,, (1.59)

где OLtn - \J{1 + т) (I — т — 1). Рекуррентное соотношение (1-59) можно удовлетворить функциями вида YIm - fImeim ipIyfln. Для этого необходимо и достаточно, чтобы fjm удовлетворяли соотношению
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 107 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама