Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Абаренков И.В. -> "Начала квантовой химии" -> 7

Начала квантовой химии - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Братцев В.Ф., Тулуб А.В. Начала квантовой химии — М.: Высшая школа, 1989. — 303 c.
ISBN 5-06-000492-9
Скачать (прямая ссылка): nachalakvantovoyfiziki1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 107 >> Следующая

\

Полагая, далее, х — cost?, JPrJix) = //m($), будем иметь рекуррентное соотношение тя PfrJix):

-m^)/7(x) = am Pji-1 (X) d* i_x2 і I

m

и после замены PnJ = (1 — х2 ) 2 ит — соотношение для ат:

и . = 1 ^Um

т — 1

°frz CU

Отсюда получаем, что

m

pm(x\-J (2/+1)(/+#я)! 1 п 2ч 2 . A1 т , 2 п/

т.е. Р***{х) — нормированные на единицу присоединенные функции Лежандра. Через них выражают основные сферические функции.

im* ' (1.60)

е

Ytm = /"(costf)

V

Сферические функции удовлетворяют соотношению

Уі.-т =(^)mYgn-

Сферические функции, определенные формулой (1.60), ортонормиро-ваны:

J Yffnід, ф) Yfm»(?, ?)sindddd^ = Ь^Ьтт >.

Функции канонического базиса в пространстве состояний одной бес-спиновой частицы задаются в виде

іт<р

Фуїт if, #, V?) = Ry ir)P™ (C0St9) -Z- .

V 2n

Поскольку набор функций Ryir) может быть взят произвольным, то очевидна неоднозначность канонического базиса. Согласно (1.50) в качестве канонического базиса могут быть взяты функции

Фпіт ~ Rnlir)Yjm (Ф, ф) — 2R7(r)Yim(#, ф),

7

С(/) =

где С — \ су ’ [ — произвольные унитарные матрицы.

Спин

Рассмотрим пример одноэлектронных спиновых функций. Пусть а — переменная, принимающая два значения: +1 и —1. Рассмотрим пространство Ж, образованное такими функциями х(^) дискретной перемен-

19
ной о, что

lx(+i) I2 + M-Ol2 <+~.

Скалярное произведение определим формулой <Хі ІХ2> = 2 X* (о)Х2 (о).

о

Рассмотрим векторный оператор s с компонентами

А 1 Л

*к=Ток,

где самосопряженные операторы д/с в Ж определены: oixio) = х(-о),

о2х(о) = -iox(-o), (1>61)

о3х(о)= ох(о).

Прямой проверкой убеждаемся, что операторы о* обладают следующими важными свойствами:

дк O1 + GlOtc = IbiJcI (1.62)

и

°к°1=і°т> 0-63)

где к, I, т — циклическая перестановка из 1, 2, 3. Используя (1.62) и (1.63), можно показать, что операторы компонент % удовлетворяют коммутационным соотношениям (1.35). Оператор есть выраженный в единицах Ь оператор электронного спина. Так как (1.62) не может иметь место, если Ofc суть числа, то оператор s является неприводимым. Находя с помощью (1.62) оператор

S2 = ~(о\ +02 + O23) = І-Ї,

видим, что вес неприводимого оператора s есть/ = 1/2.

Из соотношений (1.61) находим операторы повышения s+, понижения s_ и оператор S3:

s+х(о)= 1JsXf-O),

s_x(o) = -Црх(-<0. s3x(o) = -yx(t0-

Собственные функции оператора 1S3 должны удовлетворять уравнению

-~х(о)=тх(о),

20
и потому у них может быть отлично от нуля только одно значение либо при а = +1, либо при о = — 1. Вводя две ортонормированные функции

а(о) и Р(а) согласно

а(+1) = I, а(—1) = 0; (1.64)

0(+1) = 0, /5(-1) = 1; (1.65)

<а|а>=1; <0\Р> = 1; <а|0> = О, (1.66)

убеждаемся, что а(о) и (3(о) — собственные функции оператора Sz с собственными числами т = V2 и т = — V2 соответственно. Эти две функ-

ции и образуют каноническую цепочку, или канонический базис:

*Л,72(о) = а(а)>

Матрицы операторов s+, s_ и Sz в каноническом базисе есть:

/0 1\ /о 0\

5+"\0 0/’ s-_ \1 о/*

s+~ \о о/» s-_ \1 о)' Sa

Отсюда получаем матрицы операторов в каноническом базисе Ofc:

Oi

-(?«)• «-(??)¦ (!“)¦ (,я>

Матрицы (1.67) были впервые введены Паули и названы его именем.

Отметим соотношения а(— о) = 0(о), O1Cx(O) = Р(о), OiP(O) = а(а), о2ос(о) = ioP(o), O2 Р(о) = -ioa(o).

п/і

ямое произведение матриц и операторов

Пусть рассматриваемая система состоит из двух подсистем, и в каждой из них введен оператор момента количества движения. Для определения оператора момента количества движения всей системы введем понятие прямого произведения. Пусть даны матрица А порядка W1 с элементами {А) ik = a и матрица В порядка п2 с элементами {в} ik = = bfk. Прямым произведением А © В называют блочную матрицу порядка W1, каждый і, к-блок которой есть матрица д,* В порядка W2. Например, прямым произведением матрицы А порядка 2 на матрицу В порядка 3 является матрица

21
. blt bl2 b13 \ / Af11B д12 B

A@B— X I b2 I ^22^23 I = I

^31^32^33 J \ Д21 В A22B

(1.68)
aI 1 Ьц O11 Ьх2 aubi з а12 ЬI1 aI 2 Ь\ 2 Ь\гЪ\з у
aH Ь2\ A11 Ъ2 2 aI\Ь2 з Af12 ^2 1 й\2 ^22 aI2&23
aW ^3 1 а.\! 632 flI1^33 й\2 Ьз 1 а12 Ь 32 #12^33
а2 \ а2\Ъх2 ^21^13 @2 2 02 2 Ь 12 O2 2^13
а21 Ь2\ а 2 1 Ь22 °21^23 а2 2 t>2 1 а22 Ъ22 а2 2^2 3
а2\ ^3 1 а2\ Ъ 3 2 а21^33 0-2 2 Ьзі 0-2 2 ^32 ^22^33 I

Таким образом, прямое произведение матриц образовано всевозможными произведениями матричных элементов матриц сомножителей. Используя нумерацию строк и столбцов сложными индексами, можно написать

{а® в}stfkI = askbtl. (1.69)

Из определения (1.69) следует, что прямое произведение диагональных матриц есть диагональная матрица, а прямое произведение единичных матриц — единичная матрица.

Прямое произведение матриц обладает следующими свойствами. Пусть A1 и A2 — матрицы порядка a B1 и B2 — матрицы порядка п2. Тогда

(C1A1 + с2 A2 ) B1 = C1 (A1 ©В,) +C2 (A2 (E) B1) ,

A1 © (C1B1 + C2B2) = C1 (A1 (х) B1) + с2(А1 ® B2),
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 107 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама