Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Абаренков И.В. -> "Начала квантовой химии" -> 8

Начала квантовой химии - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Братцев В.Ф., Тулуб А.В. Начала квантовой химии — М.: Высшая школа, 1989. — 303 c.
ISBN 5-06-000492-9
Скачать (прямая ссылка): nachalakvantovoyfiziki1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 107 >> Следующая


(1.70)

где C1 И C2 — произвольные комплексные числа. Кроме того,

(А, ® B1XA2 ® B2) = (A1A2)Q (B1B2). (1 -71)

Здесь стоящие рядом матрицы одного порядка перемножаются обычным образом. Отметим, что (А © В) + =A+ (х) B+ .

Пусть и 3((2) — пространства состояний подсистем. Рассмотрим конечномерные пространства размерностыо W1 и п2. Пусть ^ (к = = 1, 2, ..., W1) и (/ = 1, 2, ..., W2) — базисы в ЗС*1* и ЗС(2^ соответственно. Составим W1 W2 всевозможных произведений:

^/ = Л1}^(/2)> к= 1.2, ...,W1; /=1,2, ...,W2.

Пространство, натянутое на как на базис, есть прямое произведение пространств К(1) и ЗС*2\ т.е. пространство Ж состояний системы К = Ж(1> © ЗС(2>.

22
Пусть в и заданы операторы Я и В:

Ws1?

к S= 1 5

В= 2 Ьг/^(2) .

* /= і

д /_ Л А А

Прямым произведением A Qy В операторов А и В является оператор, матрица которого есть произведение матриц операторов А и В:

а® в№= і z a,k= S1 г {а® в)„ы<р„.

S=I t~I S=I t=1

Суммарный момент количества движения

Л Л

Пусть операторы момента количества движения J(I) и J2 действуют в пространствах Ж^1 * и Ж^ соответственно. Образуем прямое произведение этих пространств Ж = Ж^ ® Ж^2* и рассмотрим действующий там оператор:,

J = J(I) @1(2)+1(1)® J(2). (1.72)

Докажем,лчто ^ператор момента количества движения, т.е. его компоненты J1, J2 и J3, удовлетворяет коммутационным соотношениям (1.35). Действительно,

[J1 ,J2] = [J1(I) ® 1(2) +1(1) ® J1 (2), J2(I) О Г(2) +1(1) (X) J2 (2) ] = IJ1(I) ® 1(2), J2(I) ® 1(2)] +[J1(I)® 1(2), I(I) ® J2 (2)] +

+ [I(I) ® J. (2), J2 (1) ® 1(2)] + [1(1) ® J, (2), I (I) ® J2 (2).

Из равенства (1.71) следует, что для первого слагаемого [J1(I)(S) 1(2), J2(I) ® 1(2)] = (Jtd) © 1(2)) (J2(I) ® 1(2)} -- (Jad) ® 1(2)) (J.(l)® 1(2))= (J1(I)J2(I)- J2(I)J1(O)S «2) =

=-J3(I)S 1(2);

для второго

[?і(1)® 1(2), 1(1)® J2(2)] = J,(1)@J2(2) -J,(l)® J2(2) = 0;

для третьего

[ї(1)@ J1 (2), J2(l)® I(2)] = 0;

23
для четвертого

li( I) ® J, (2), І( I) ® Jj (2)1 = /ї( I) ® J J (2).

Tjkhm образом,

(J,,J2| = /(J3(l)®t(2) + 1(1)® J3(2)) = ij3.

Доказательство остальных коммутационных соотношении — буквальное повторение произведенных вычислении.

Оператор J (1.72) называют суммарным оператором мом нта коли-чества движения.

Аналогично определяют суммарный момент трех слагаемых:

J = J<l)®t(2)®I(3) + Id)® J(2)®T(3) + t(l)®t(2)®?(3)

и вообще п слагаемых:

Js= 21(1) ® - 1)®J(A.)®b: + 1) ® ... ® Т(и).

к

Для краткости единичные операторы обычно опускают и пишут

J= E Цк). к

Сложение двух неприводимых моментов

Суммарный оператор момента количества движения всегда будет приводимым. Поэтому возникаеі задача его разложения в прямую сумму неприводимых, т.е. задача построения канонического базиса. В общем случае эта задача решается неоднозначно. Когда складываются два неприводимых момента количества движения, может быть дан однозначный ответ, что и составляет содержание теоремы о сложении моментов^ А

Пусть J (1) и J (2) неприводимы, действуют в пространствах Ki и ЗС^2), имеют веса }\ и /2 соответственно. Тогда

л л h + І2 — Д/1\

J(I) + J(2) = 2 ® J^. (1.73)

/ = 1/і -/21

Иными словами, прямое произведение JC пространств JCtl* и JC*2* разлагается в прямую сумму:

ЗС = ЗС(,)® ЗС(2) = hyLh © JC.,

/=І/1“/2І

в кото]Х)ї^ каждое слагаемое JCf инвариантно относительно суммарного момент J = J(I) +J (2), а его сужение на ЗС/ есть неприводимый

24
оператор момента веса /. Суммирование идет по веем / от Iyj - j2 | до /1 + Іг с шагом I Ocj повторении.

Пусть Vjitnl и Vj2Ki2 ~~ канонические базисы и Их произведение 7f(I) 0 JCc2j может быть представлено базисом Vjxmxj2m2 =

= ^/і"\^І2тг' ^ дРУг()й стороны, объединение канонических цепочек V/nl, представляющих подпространства Kjt также образует базис 7f(0(g) f(42) Поэтому

Vjm= 2 (/,m,/2m2|/m)vJт Vjlfni- (1 74)

ttl j W 2

Коэффициенты (/IftZiZ2OT2 |/ш) этих линейных комбинации наїьівают коэффициентами Клібша — Гордана. Hj свойств этих коэффициенте отмстим следующие. Они вещественны. Для того чтобы коэффициенты Клебша — Гордана Пыли отличны от нуля, необходимо выполнение равенства

m = m і + /п2 и неравенства треугольника %

І/l -/2І</</і + /2.

Матрица, составленная из коэффициентов Клебша — Гордана, является ортогональной. Отсюда

2 (Zi WiZ2W2 I/m) Oi ftii/'a'fta IZ"w") = Ьп>6тт\

MljWl2 ''

Г ІІіт J1W2 l/w) (/, m\j2 MZ2 I/m) = 5Н| * 5„,2*

JttI 1 *

и обратное преобразование от к fPjimi осуществляется теми

же коэффициентами Клебша — Гордана:

Vf, M! ^2,,I2= 2 Ui'» 1/2ft»2 IZot) Vjm.

Jtn

Очевидно также, что

(Z»Ih”'2\jm) = <Ч>Ит і iPj2т 2 Щт > = <Pjm >iPj, ш , ^2 «2 >*

Для коэффициентов Клебша — Гордана получено множество формул, ;ающих явную зависимость от/‘іт,./‘2от2,/от [7J, [42J. В качестве приме-

25
ра приведем только одну из них. Для удобства положим j\ = а, т, = а, І2 =b,m2 = P, І = с. т = у, g = а + Ь+ с. Тогда

ОJOi, Ьр\су) ~ 6

х

-г гЬ + 0-г b -2а '

Здесь Cmn — и!/т!(и - т)! — Сииомиальныс коэффициенты, а суммирование ведется с шагом 1 по таким 2, чтобы под знаком факториала не оказалось отрицательное «тело. При работе с коэффициентом Клебша — Гордана чрезвычайно полезными оказываются их свойства симметрии. Последние принимают особенно простои вид, если вместо коэффициентов Клебша — Гордана использовать коэффициенты Вигнера, или 37-символы, определяемые равенством
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 107 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама