Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 12

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука , 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebaniyamehanizmah1990.djv
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 131 >> Следующая

если Y(t) нормирована при t = t0, т.е. К(/0) = Е.
Автономная линейная система (2.6) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда любое решение (2.9) ограничено. Следовательно, коэффициенты фундаментальной матрицы Y(t) устойчивой системы должны быть ограничены.
2.2. Спектр ляпуновских характеристических показателей фазовой траектории динамической системы
Характеристическим показателем Ляпунова, или просто характеристическим показателем функции Ф(Г), называется действительное число, определяемое соотношением
?[Ф(/)] = [/-11п|Ф(/)|], (2.10)
f-*oo
где черта сверху означает верхний предел. Для экспоненты Ф(/) = ехраг, ? = а.
Понятие характеристического показателя дает способ оценки степени роста функции в сравнении с экспонентой.
Для линейной системы (2.6) с произвольной матрицей A (t) характеристические показатели нетривиальных решений можно ввести аналогичным образом [33, 36,10]:
\t= lim [/‘ЧпII.)>*(/)I], /= 1,2,... ,N, (211)
где yl(t) - i-e фундаментальное решение системы (2.6), ПОП - норма. В силу определения характеристические показатели действительны, а так как матрица A (t) ограничена, то н конечны. Числа X/ называются обобщенными характеристическими показателями произвольной линейной системы типа (2.6). Для системы в вариациях, описывающей эволюцию возмущений y(t) вблизи частного решения дг°(/) нелинейной системы
(2.2), совокупность \t называют ляпуновскими характеристическими показателями частного решения (или фазовой траектории) x°(t) нели-
27
нейной системы. Упорядоченная по убыванию совокупность чисел Х| > > \2 > ¦ ¦ ¦ > \N образует так называемый спектр ляпуновских характеристических показателей (спектр ЛХП) фазовой траектории x°(f). являющийся одной из важнейших характеристик решения нелинейной системы, определяющей, в частности, ее устойчивость.
Первый, наибольший показатель называют старшим показателем спектра ЛХП решения. В случае равенства Xj = Xj = ... = \k (k < N, < X*. j = I,... ,N-k) старших показателей будет k штук.
В зависимости от вида матрицы А (г), определяющей тип решения системы в вариациях, сигнатура*) спектра ЛХП будет рамична. По-разному трактуется и устойчивость частного решения.
Для линейной автономной динамической системы сумма характеристических показателей спектра ее решений не меньше верхнего предела от среднего значения следа матрицы [35]:
N ________ Г
2 Х,> lim г1 fSpA(T)dr. (2.12)
i= I f— r„
Знак равенства справедлив для правильных по Ляпунову систем.
Определитель матрицы как определитель линейного оператора не зависит от выбора базиса и представляет собой объем TV-мерного параллелепипеда, построенного в фазовом пространстве системы на векторах, координаты которых задаются столбцами матрицы. Характер изменения фазового объема во времени подчиняется формуле Остроградского - Лиувилля
V(t) = К(/0)ехр [ / Sp^(T)dr], (2.J 3)
U
где V(t)= det У(г) - фазовый объем.
Рассмотрим дивергенцию вектора фазовой скорости нелинейной системы уравнений (2.1):
.V N
divF= 2 dxjdx, = 2 3/,/Эх,. (2.14)
<=i <=i
Для уравнений в вариациях выражение (2.14) принимает вид N
divF= 2 an(0 = SpA(t). (2.15)
i=i
Таким образом, дивергенция в линейном приближении совпадает со значением следа матрицы A(t). Локально вблизи частного решения фазовый объем системы во времени изменяется в соответствии с выражением
m = K(/0)exp[r(dw7)] = K(r0)exp[ t 2 X,], (2.16)
/= i
где чертой обозначено усреднение по времени.
*) Под сигнатурой понимается упорядоченная последовательность из трех символов "О”, отвечающая положительным, нулевым или отрицательным действи-
тельным числам спектра ЛХП решения x°(t).
28
Рассматривая относительную скорость изменения малого элемента фазового объема, получаем
K(f)-1 4 [К(01 = Б (2.17)
dt /-1
Следовательно, сумма показателей спектра ЛХП траектории х°(г) характеризует скорость изменения фазового объема в ее окрестности. Для систем с отрицательной дивергенцией, тл. диссипативных, сумма показателей спектра ЛХП отрицательна. Предельный объем аттрактора б фазовом про-сгрансгве кулевой.
Для предельного цикла старший показатель спектра ЛХП - нулевой*), все другие отрицательны. Аттрактором является замкнутая кривая в фазовом пространстве системы.
Режим странного аттрактора реализуется только в диссипативных системах и характеризуется наличием в спектре ЛХП положительных показателей. В этом сложном случае аттрактор локализуется в конечной о Спасти фазового пространства и включает канторово множество гиперповерхностей. Предельное множество траекторий, отвечающее странному аттрактору, многообразием не является.
Если сумма показателей спектра ЛХП равна нулю, то фазовый объем системы во времени не изменяется - система консервативна и аттракторов не содержит. В случае положительной дивергенции векторного поля фазовый объем во времени нарастает. С физической точки зрения такой режим как стационарный не реален. Однако рост фазового объема может наблюдаться на конечном интервале времени, что свидетельствует о переходном процессе релаксации к новому установившемуся режиму.
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 131 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама