Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 13

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука , 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebaniyamehanizmah1990.djv
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 131 >> Следующая

23. Устойчивость состояний равновесия
Если частное решение дг°(0 характеризует состояние равновесия, гл. не зависит от времени, то правые части (2.1) обращаются в нуль:
Ж*?.*!........*&,Л)»0. (2.18)
Корни алгебраических уравнений (2.18) определяют координаты возможных состояний равновесия, отвечающих особым точкам в фазовом пространстве системы. В особой точке матрица А системы в вариациях от времени не зависит и общее решение системы имеет вид
y(t) = txp(At)y(t0). (2.19)
Решение устойчиво по Ляпунову, если собственные числа матрицы линеаризации, определяемые корнями векового уравнения
det[4 -*?¦]= 0, (2.20)
характеризуются действительным! частякж Rej/ < 0. Если все $/ удовлетворяют строгому неравенству Res/ < 0, то решение y(t) асимптотически
*) Равенство нулю старшего показателя спектра ЛХП устойчивого периодического решения впервые доказано А.А. Андроновым [17J. Для произвольного ограниченного решения х*(г) автономной системы (2.1), не стремящегося во времени к особой точке, по крайней море одни из показателей спектра ЛХП всегда равен нулю [10].
29
устойчиво. Эго означает, что произвольные малые возмущения положения равновесия х° затухают и при t асимптотически стремятся к нулю.
Спектр ЛХП устойчивого стационарного решения, как это видно из определения (2.11), состоит из упорядоченных по убыванию отрицательных чисел X, = ResjOi), i = 1,2Условием асимптотической устойчивости решения будет отрицательность старшего показателя спектра ЛХП. Если хотя бы одно из собственных значений положительно в своей действительной части, то равновесие неустойчиво. Условие Re5/(/i) Ф 0 выделяет случай грубых состояний равновесия, которые либо устойчивы, либо неустойчивы в некоторой конечной области вариации параметров ц.
Обращение в нуль старшего показателя спектра ЛХП стационарного решения x°(t) отвечает бифуркационной ситуации и требует специального анализа, изложению которого посвящена гл. 3. Здесь же отметим, что сигнатура спектра ЛХП аттрактора системы, представляющего собой устойчивое равновесие, имеет вид
99 99 99 99 *9 99 99 99
9 9 9 • • • I •
Потеря устойчивости равновесным решением (состоянием) означает переход от одного грубого устойчивого аттрактора к какому-либо другому типу аттрактора через негрубое состояние в точке бифуркации.
2.4. Устойчивость периодических решений.
Мультипликаторы предельного цикла
Любое периодическое частное решение системы (2.1) выделяется условием
дг°(/) = дг°(/ + Т), Т — период решения. (2-21)
Устойчивость периодического решения определяется исследованием соответствующей системы в вариациях, которая также является периодической:
y=A(t)y. A(t)=A(t + Т). (222)
Нетрудно убедиться в том, что если Y(t) - нормированная фундаментальная матрица решений системы (2.22), то матрица Y(t + Т) также является фундаментальной и справедливо соотношение [35]
Y(t + T)=Y(t)Y(T). (223)
Матрица У (Г) носит название- матрицы или оператора монодромии. Решение уравнений в вариациях в силу (2.23) определяет линейное отображение, ставящее в соответствие произвольному значению возмущения y(t) значение возмущения y(t + T) через период:
У(? *T)=Y(T)y(t). (2.24)
Матрица монодромии не зависит от времени. Собственные значения pt
матрицы монодромии У (Г), т.е. корни характеристического уравнения
det[y.(r)-p*’] =0, (2.25)
называются мультипликаторами периодического решения x°(t) и определяют его устойчивость. Действительно, действие оператора монодромии
30
(2.24) заключается в том, что первоначальное возмущение периодического решения, рассматриваемое в проекциях на собственные векторы, через период Г умножается на соответствующий мультипликатор р{. Значит, затуханию возмущений должно отвечать требование I р,-1 < 1.
Любому мультипликатору р{ соответствует нетривиальное решение ?(/ + Т) = PtkU) системы (2.22), и наоборот, выполнение указанного равенства служит определением мультипликатора. Отсюда следует важный вывод: периодическое решение лг°(/) имеет по крайней мере один из мультипликаторов, равный +1 [17,35].
Мультипликаторы как собственные значения матрицы монодромии удовлетворяют соотношениям
Ь/'Sр Г (Г), П pt = del >'(П >0, (2.26)
/*I i-1
которые весьма полезны при анализе численных результатов.
Спектр ЛХП периодического решения определяется в соответствии с (2.11) через мультипликаторы
Х,«!п|р,|/Г. (2.27)
Один из показателей спектра всегда равен нулю н отвечает единичному мультипликатору. Если все оставшиеся на комплексной плоскости значений мультипликаторы принадлежат внутренности единичного круга. т.е.
I pt | < 1, / * 1, 2....N- 1,то периодическое решение устойчиво. Сигна-
тура спектра ЛХП устойчивого предельного цикла такова:
40” »»_•*
v * f » • • * »
Если по одному или нескольким собственным направлениям возмущения нарастают, то соответствующие мультипликаторы |р( > 1 и в спектре ЛХП периодического решения появятся положительные показатели. Периодическое решение, часть мультипликаторов которого лежит внутри единичного круга, а часть - вне его, является неустойчивым н называется седловым.
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 131 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама