Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 17

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука , 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebaniyamehanizmah1990.djv
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 131 >> Следующая

Структурно устойчивыми называют такие дифференциальные динамические системы, для которых малые возмущения оператора эволюции, дифференцируемые хотя бы один раз. приводят к топологически эквивалентным решениям. Последнее, по сути дела, означает, что возмущенный поток можно перевести в невозмущенный с помощью некоторой непрерывной замены фазовых координат.
Реакция динамической системы на малое возмущение определяется ее состоянием, и в одних случаях возмущающие факторы влияют на режим функционирования системы незначительно, в других - приводят к резкому отличию характера возмущенного движения по сравнению с исходным. В первом случае состояние системы (или тип движения) устойчиво, во втором — нет. Как было показано в гл. 2, задача теории устойчивости в том и состоит, чтобы указать признаки и сформулировать критерии, позволяющие с определенной уверенностью судить о том, устойчиво или нет рассматриваемое движение системы.
38
Большинство интересных физических задач при их математическом описании продит к дифференциальным уравнениям, зависящим от параметров. Изменение параметра может вызвать потерю устойчивости одним режимом движения и переход системы в другое состояние. Пример - возникновение периодических колебаний в генераторе Ван дер Поля с превышением порога генерации. Это явление называется бифуркацией, а значение параметра, при котором оно происходит, - точкой бифуркации. Особо интересны такие бифуркации, в результате которых при прохождении точки бифуркации в системе возникают новые устойчивые режимы движения.
Иерархия смены одних устойчивых состояний системы другими с изменением управляющих параметров вызывает последовательность фазовых переходов от одних грубых (структурно устойчивых) режимов к другим грубым и осуществляется через негрубое состояние в точке бифуркации.
Математической основой элементарной теории бифуркаций является кратко изложенная в гл. 2 теория устойчивости. С помощью теорий устойчивости и бифуркаций становится возможным рассмотрение задачи о разбиении фазового пространства динамической системы на типичные траектории, анализ структуры этого разбиения, выявление областей в пространстве параметров с характерными типами предельных множеств. Практически это дает возможность построения бифуркационных диаграмм, поясняющих механизмы перестроек режимов движения в фазовом пространстве динамической системы при вариации ее параметров. Совокупность этих вопросов составляет предмет современной качественной теории динамических систем, которая естественным образом включает в себя теорию устойчивости и теорию бифуркаций [40-47].
3.2. Бифуркации состояний равновесия
Бифуркация коразмерности 1 - двукратное равновесие. Рассмотрим динамическую систему, описываемую одним дифференциальным уравнением 1-го порядка на прямой х:
х = F(x, ц). (3.1)
Пусть х°(ц) есть грубое состояние равновесия. т.е. s(p.) Ф 0, где sQi) = = fx(x°, ц). Модельным уравнением, описывающим динамику вблизи особой точки, в данном случае будет линеаризованное уравнение (3.1):
v = s у. (3.2)
Из решения v 3 >0 exp(s/) видно, что устойчивость х° определяется знаком собственною числа s. т.е. знаком производной (ц). При некоторых значениях параметров собственное число s в положении равновесия может обратиться в нуль:
s(m)^F'xQc°, д) = 0. (3.3)
Предположим, что вторая производная при этом отлична от нуля:
*(W = Кх (*° • м)/2 Ф 0. (3.4)
Тогда лг° есть двукратный корень исходного уравнения (3.1). Модельная
39
система для данной бифуркации будет у = bi(ii) + a(ii)y2.
(3.5)
где b 1 — «екоторый параметр.
Пусть, для определенности, а > 0. Тогда при Ь\ < 0 в системе (3.5) существуют два положения равновесия (устойчивое и неустойчивое). При />1=0 они сливаются в одно, и при Ьi >0 равновесия исчезают. Если изобразить многообразие Fix, ц) = 0 в комбинированном пространстве параметров и фазовой координаты (рис. 3.1), то при его проецировании
Рис. 3.1. Особенность тина складки при седно-уэловой бифуркации состояния равновесия
на пространство параметров имеется одна особенность типа складка 148, 49]. Бифуркация ’’двукратное равновесие” имеет коразмерность 1, так как выделяется единственным бифуркационным условием (3.3). В приложениях эта бифуркация встречается довольно часто и называется также бифуркацией срыва равновесия или седло-узловой бифуркацией.
Бифуркация коразмерности 2 — трехкратное равновесие. Изменим значения параметров системы (3.1), двигаясь в пространстве параметров вдоль линии /0 (см. рис. 3.1), отвечающей бифуркационному условию (3.3). При некоторых значениях параметров возможно обращение в нуль величины а{ц):
a(p) = F'x'x(x0, /0/2-0, s(m) = f;(x°,m) = 0. (3.6)
При этом третья производная Fxxx(x°, р)Ф0. В этом случае одновременно выполняются два бифуркационных условия (3.6). Реализуется бифуркация коразмерности 2; х° - трехкратный корень уравнения (3.1). Модельная система для данной бифуркации представляется в виде
y = bi + b2y + b(p)y3, b(p) Ф 0. (3.7)
В системе (3.7) могут существовать либо одно, либо три грубых стационарных решения. На рис. 3.2 изображено многообразие бифуркации "трехкратное равновесие". Для значений параметров, лежащих в заштрихованной области внутри характерного треугольника (точка, к примеру, А), система имеет три стационарных решения. Одно из них всегда неустойчиво, два других и jc§ - устойчивы. Вне этой области значений параметров существует только одно состояние равновесия. В точке В три состояния равновесия сливаются в одно устойчивое равновесие.
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 131 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама