Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 19

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука , 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebaniyamehanizmah1990.djv
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 131 >> Следующая

43
3.3. Бифуркации периодических решений
Постановка зада*ж. Вопрос об устойчивости и бифуркациях периодических траекторий может быть рассмотрен как непосредственно в отношении дифференциальных уравнений, когда частному решению отвечает предельный цикл, так и путем анализа устойчивости неподвижных точек соответствующего отображения Пуанкаре. Наиболее наглядным и удобным дня численного исследования является метод анализа отображения.
Рассмотрим задачу о типичных локальных бифуркациях периодических движений, которую решим в терминах отображения Пуанкаре. Пусть Г - фазовая траектория в ЛАмерном пространстве, соответствующая периодическому решению автономной системы дифференциальных уравнений (2.1), зависящих от совокупности параметров ц. Введем в рассмотрение секущую S. Пусть точка х° пересечения Г с 5 является неподвижной точкой отображения Пуанкаре (231)*).
Устойчивость неподвижной точки л°, как было показано, полностью описывается собственными значениями матрицы линеаризации отображения, тл. мультипликаторами цикла р*(мХ i- 1,2.......N - 1, удовлетво-
ряющими уравнению (238). Цикл Г устойчив (асимптотически устойчив), если при фиксированных значениях параметров все мультипликаторы iP{| < 1 (Iр/1 < 1). При изменении параметров системы мультипликаторы меняются по величине и при достижении некоторого критического значения ц а ц* один или несколько мультипликаторов могут обратиться по модулю в единицу. Выход иа единичную окружность хотя бы одного из мультипликаторов отвечает бифуркационной ситуации, приводящей в итоге к топологической перестройке структуры фазовых траекторий в окрестности цикла Г.
Рассмотрим случаи потерн устойчивости циклом, когда прн изменении параметра на единичную окружность выходят один или пара комплексносопряженных мультипликаторов. Напомним, что один нз мультипликаторов матрицы монодромии равен единице: рц = I. Систему базисных векторов на секущей всегда можно выбрать так, что собственный вектор мультипликатора рк будет касательным к траектории Г в неподвижной точке отображения дг. В этом случае устойчивость цикла определяется мультипликаторами отображения, из которых анализируется наибольший по модулю (для комплексно-сопряженных их, естественно, два). Предположим, для упрощения, что меняется один из параметров системы щ * ц, который назовем управляющим**) [11, S1,12-14].
Седло-узловая бифуркация предешюго цикла. При достижении параметром критического значения м ¦ ц* наибольший мультипликатор цикла р{ц*) обращается в +1. Что при этом происходит?
Проиллюстрируем качественно эту ситуацию на примере трехмерного фазового пространства. На рис. 3.6а изображен цикл, пересекающий секу-
*) Для удобства рассматривается случай простого однооборотного предельного цикла с единственной неподвижной точкой на секущей. Однако все результаты останутся справедливыми и в случае л-цикла в отображении.
**) В обшем случае число управляющих параметров определяется коразмерностью бифуркации- Одним параметром можно ограничиться, анализируя бифуркации коразмерности 1.
шую S в неподвижной точке л°. Пусть С\ и е2 - собственные векторы, лежащие на секущей, третий собственный вектор е3 касателен к траектории Г в неподвижной точке. Собственному вектору et отвечает мультипликатор PiGi), а вектору е2 - Рг(ц). Будем считать, что р, Q«) < 1 при значениях параметра вблизи критического. Это означает, что через некоторое число оборотов любая возмущенная траектория вблизи цикла Г по направлению е( приблизится к х° на секущей. В направлении е7 в критической точке р> (/i*) = +1. В зависимости от ориентации малого начального
возмущения v относительно собственного направления е2 возможны два случая, показанные на рис. 3.66, в. В точке бифуркации либо рождается пара циклов Г' и Г", либо они сливаются и исчезают. Наглядно бифуркация рождения (гибели) пары циклов иллюстрируется модельным одномерным отображением на диаграмме Ламерея.
На рис. 3.7 дан график некоторого одномерного модельного отображения х(к + 1) = 4*[л(/г), ц] и его эволюция с изменением управляющего парамитра. Кривая 2 отвечает негрубои ситуации в критической точке /и*, когда Рх (л-°, ц) ~ +1. Дня одномерного отображения матрица линеаризации состоит из одного члена Р'х (х°), который и является мультипликатором неподвижной точки. С изменением параметра ц касание графика отображения с биссектрисой либо исчезает (рис. 3.7, кривая 1), либо появляются две точки пересечения х' и х". В первом случае в критической точке гибнут, сливаясь, два цикла, во втором - из сгущения фазовых траекторий жестко рождается пара неподвижных точек: устойчивая х' и седповая х".
Если ввести в рассмотрение малый параметр е = \ц - ц* I, то асимптотическая зависимость р(е) при е -* 0 описывается в случае бифуркации +1
Рис. З.б. Сецпо-уэловаи бифуркация периодического решения
х(к+1)
Рис. 3.7. Ссдло-узловая бифуркация в модельном отображении
х' Х° х"
х(к)
45
соотношением р(е)в I -се|/2.
(3.12)
Зависимость (3.12) дает асимптотику мультипликатора устойчивого цикла при стремлении параметра ц к критическому значению ц*.
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 131 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама