Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 20

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука , 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebaniyamehanizmah1990.djv
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 131 >> Следующая

Рассмотренная бифуркация предельного цикла в отображении аналогична бифуркации срыва равновесия для стационарных решений и также называется седло-узловой бифуркацией периодического решения.
Бифуркация удвоения периода цикла. В основном случае в критической точке ц- ц* при условии, что р'„ Ф 0. имеет место обращение мультипликатора рОи*) в -1. Цикл Г при ц>11* продолжает существовать как седло-вой. а вблизи него рождается предельный цикл, период которою близок к удвоенному. Рассмотрим соответствующую картину в фазовом пространстве, представленную на рис. 3.8. Цикл Г в критической точке цт пересекает S в точке х°. Зададим малое приращение^ в направлении е: к проследим за возмущенной траекторией Г'. Через один o6opoi по траектории Г' вблизи Г вектор приращения сменит направление на прогиьоположное (мультипликатор равен -1), оставшись в линейном приближении по модулю без изменения. Возмущенная траектория Г' пересечет поверхность S в точке хг и, сделав еще один оборот, замкнется, вернувшись в исходную точку Xi. Неподвижная точка отображения дс° периода 1 при данной бифуркации теряет устойчивость, образуя цикл периода 2.
На примере одномерного отображения бифуркация удвоения периода иллюстрируется рис. 3.9. На рис. 3.9в ц-ц* и Р‘х (*°) = -1. Дважды применив оператор отображения, для найдем родившийся устойчивый
цикл удвоенного периода. Из рис. 3.96 видно, что график ^(А:)] пересекает биссектрису в трех точках: х° - неустойчивая их,, х2 - две устойчивые неподвижные точки. Если при подходе к точке бифуркации ц*
Рис. 3.8. Возмущенная траектория г' в- окрестности предельного цикла Г при бифуркации удвоения периода
Р и с. 3.9. Мягкая бифуркация удвоения периода в одномерном отображении и параметром ц * ц * (в) и и >. ц • (б)
46
t
P и с. 3.10. Бифуркация удвоения периода на примере временной зависимости фазовой координаты Xj (/) с параметром ц < д* (У) и м ^ (-)
исходный ш<кл Г был устойчив не в малом, т.е. характеризовался конечной областью притяжения, то родившийся предельный цикл удвоенного периода будет устойчив.
Бифуркацию удвоения периода можно проиллюстрировать на примере наблюдения временной зависимости одной из фазовых координат системы; пусть это будет дг,(7). На рис. 3.10 штриховой линией показана реализация .v,(/) периодического движения Г в момент бифуркации удвоения периода р(/Г) = - 1. Сплошной линией изображена реализация xt(t) дня ц ~>, ц', отвечающая родившемуся циклу удвоенного периода. Асимптотическая зависимость мультипликатора от параметра вблизи критической точки аается выражением
т.с. зависимость р(ц) аппроксимируется линейной функцией.
Бифуркация рождения (гибели) двумерного тора. Эта бифуркация реализуется, когда с изменением параметра на единичную окружность выходит пара комплексно-сопряженных мультипликаторов. В критической точке ц имеет место соотношение
где IP|,2(ju*)! =• !. ф(ц‘)Ф0. я, я/2, 2я/3. На комплексной плоскости значений мультипликаторов ситуации соответствует рис. 3.11. Неподвижная точка отображения Пуанкаре становится неустойчивой, и вблизи нее либо мягко рождается, либо стягивается в точку инвариантная замкнутая кривая в отображении. В окрестности цикла Г при этом либо мягко рождается, -тбо стягивается к предельному циклу инвариантная замкнутая двумерная поверхность в фазовом пространстве системы.
Рассмотрим эту бифуркацию подробнее на примере трехмерного фазового пространства. Пусть для неподвижной точки лг имеет место условие (3.14). Так как отображение Пуанкаре двумерно, устойчивость дс° описывается двумя мультипликаторами. Задавая произвольное возмущение у иблизи х°, мы наблюдаем картину, изображенную на рис. 3.12а. С каждым последующим пересечением Г с S на окружности L будут появляться новые
р(е) - се - 1,
(3.13)
Р|.2<Юв1Р|.г1ехр(±/#),
(3.14)
47
точки xt, i = I, 2,Так как угол Ф в общем случае не кратен 2я, то эти точки образуют бесконечную последовательность, но остаются на окружности постоянного радиуса г = \у |. Если долго следить за возмущенной траекторией Г', то точки пересечения ее с секущей 5 всюду плотно покроют инвариантную окружность в сечении Пуанкаре. Инвариантную в том смысле, что любая точка иа этой окружности переходит в точку этой же окружности. Спустя большое время реализуется картина, изображенная на рис. 3.12д. Траектория Г' всюду плотно покроет поверхность ’’бублика”, сечение Пуанкаре которого представляет собой окружность L. Эта поверхность называется двумерным тором. В случае мягкого рождения двумерного тора все траектории в окрестности потерявшего устойчивость цикла Г со временем будут приближаться и располагаться на поверхности тора.
Отметим, что рассмотренная бифуркация рождения тора для отображений может трактоваться как бифуркация Андронова - Хопфа. когда из неподвижной точки дг° в результате потери ею устойчивости рождается предельный цикл, которому отвечает инвариантная окружность L. При мягкой бифуркации рождения тора устойчивые траектории на двумерном торе близки к седло во му циклу Г. Возможны случаи жесткой бифуркации, когда в момент потери устойчивости предельным циклом в него ’’влипает” неустойчивый двумерный тор. В экспериментах в этом случае наблюдается жесткий переход от потерявшего устойчивость предельного цикла Г к некоторому другому режиму, фазовые траектории которого могут быть удалены от цикла, и их структуру в общем случае предсказать невозможно.
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 131 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама