Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 28

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука , 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebaniyamehanizmah1990.djv
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 131 >> Следующая

Результаты численных исследований динамической сто хаотичности в дифференциальных трехмерных системах и соответствующих им двумерных отображениях, а также в диссипативных модельных отображениях плоскости свидетельствуют о сложной геометрической структуре странных аттракторов уже в этих относительно простых примерах [1-14]. Отличительная особенность странных аттракторов состоит в наличии свойства масштабной инвариантности, выражающегося в повторяемости их структуры на все более мелких масштабах. Следствием закономерностей подобия является универсальность в геометрии стохастических множеств сечений Пуанкаре, в распределении энергии колебаний по частотам и амплитудам в спектре, в зависимостях определяющих характеристик от параметров и др. Это важное свойство дает основания к применению метода ренормализацион-ной группы для нахождения количественных закономерностей, описывающих движение на странном аттракторе с масштабно инвариантной структурой.
Для характеристики странных аттракторов целесообразно ввести понятие размерности. Размерность определяет количество информации, необходимое для задания координат точки, принадлежащей аттрактору, в рам-
64
ках указанной точности. Для регулярных аттракторов, являющихся многообразиями, размерность -- целое число: неподвижная точка имеет размерность 0. предельный цикл - 1, двумерный тор — 2 и т.д. Ввиду сложности геометрической структуры странные аттракторы не являются многообразиями и имеют дробную размерность.
Размерность - одна из фундаментальных характеристик аттрактора, наряду с метрической энтропией Колмогорова. Обсуждаемые в литературе определения размерности в общем разделяются на два типа: зависящие только от метрических свойств аттрактора и, помимо метрики, зависящие от статистических свойств потока, обусловленных динамикой. В типичных случаях метрические размерности принимают одинаковую величину, которую принято называть фрактальной размерностью аттрактора Dp. Размерность, определяемую с учетом вероятности посещения траекторией различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называют информационной или размерностью натуральной меры. Последняя. что важно для приложений, может быть оценена по спектру ЛХП аттрактора. Для типичных аттракторов информационная и ляпуновская (оцениваемая по спектру ЛХП) размерности обычно совпадают количественно, но могут отличаться от значений фрактальной размерности, ilc проблеме размерности заинтересованному читателю можно порекомендовать специальные работы [64-73].
Введем определение фрактальной размерности DF произвольного предельного множества G в /V-мерном фазовом пространстве по Колмого-рову-Хаусдорфу:
где М(е) - минимальное число ЛАмерных кубиков со стороной с, необходимых для покрытия всех элементов множества G. Применив это определение для вычисления размерности точки, линии и поверхности, легко убедиться в привычных значениях 0,1 и 2 соответственно. Для нетривиальных множеств G размерность Dp может оказаться дробной.
В качестве простого наглядного примера множества дробной хаусдрр-фовой размерности приведем канторово множество. Это множество строится последовательным исключением открытых интервалов длиной 1 /3 из середины закрытого (включающего граничные точки) единичного интервала. Выбросив первый раз среднюю треть, оставляем два закрытых интервала длиной в 1/3 каждый. Затем, выбросив средние трети из оставшихся двух отрезков, получим четыре закрытых интервала длиной 1/9 каждый. Канторово множество будет построено, если процесс исключения "ненужных” открытых интервалов продолжить до бесконечности, как схематически изображено на рис. 4.2. На л-м шаге процедуры построения канторова множества останется М - 2" разделенных между собой закрытых интервалов одинаковой длины е - 3~”. По определению (4.19) найдем фрактальную размерность канторова множества:
Как видно из рис. 4.2, структура множества С„+, на п + 1-м шаге разбиения при рассмотрении ее с трехкратным увеличением повторяет структуру
Df = lim [In Af(е>/ ln(l/c)],
(4.19)
e-* 0
DF » In 2/In 3 * 0,63.
(4.20)
5. B.C. Лнжценко
65
(Jn предыдущего n-ro разбиения. В этом и проявляется свойство масштабной инвариантности. Универсальность в процессе /дробления масштабов здесь задастся самим алгоритмом построения канторова множества. Как впервые наблюдал в численном эксперименте М. Хенон, странные аттракторы имеют структуру типа кантмровой (74]. Эти множества порождаются нелинейными операторами эволюции, характеризуются более сложными законами подобия и имеют дробную размерность. Неизвестно, всели типы странных
Рис. 4.2. Принцип построении и масштабная инвариантность канторова множества
аттракторов имеют масштабно инвариантные структуры, однако четко установлено, что их фрактальная размерность в общем случае дробная. Последнее свойство используется как характерный признак ’’странности” аттрактора.
Информационная размерность Dj определяется следующим образом:
Не) Л'«>
Dj = lim ——-. 1(e) - - 2 P,\nPt. (4.21)
е о In(l/e) i = 1
Здесь 1(e) - энтропия Шеннона (количество информации, необходимое для определения состояния системы в пределах точности е),М(е) - число кубиков со стороной е, покрывающих аттрактор,/’/ - вероятность посещения фазовой траекторией /-го кубика. Гак как зля малых е / (е ) я* Dfln(l/6), то Dj характеризует скорость возрастания информации с уменьшением е.
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 131 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама