Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 30

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука , 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebaniyamehanizmah1990.djv
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 131 >> Следующая

Рассмотрим геометрическую структуру одного из типичных странных аттракторов, реализующихся в трехмерных дифференциальных системах*), на примере которого можно продемонстрировать содержательную сторону понятий дробной размерности и масштабной инвариантности. Аттракторы этого типа возникают в результате каскада бифуркаций удвоения периода.
Пусть задана трехмерная динамическая система, в которой реализуется аттрактор указанного типа. Выберем в качестве начальных данных отрезок (линию) АВ, все или почти все точки которого принадлежат аттрактору, и проследим за его эволюцией во времени. Картина геометрического преобразования отрезка АВ нелинейным потоком во времени изображена на рис. 4 3. На очень мхчых временах (рис. 4.3 а) изменений практически нет. Граничные точки отрезка АВ переходят в А' и В' соответственно. Далее
*) Пробные аттракторы возможны в многомерных и распределенных системах, однако они локализуются в трехмерном подпространстве исходного фазового пространств» системы и допускают исчерпывающее описание при трехмерном моделировании.
68
1* и с. 4.3. Геометрия странного ачтракгора, возникающего в результате каскада бифуркаций удвоения периода
I* и с. 4.4. Иллюстрация канторовости структуры хаотического множества в сечении Пуанкаре
видно растяжение отрезка АВ, обусловленное экспоненциальной неустойчивостью (рис. 4.36). Длина отрезка А'В' заметно увеличивается в сравнении с исходной при t = 0. Затем, испытывая существенное растяжение, отрезок складывается вдвое (рис. 4.3в). Поток образует двумерную поверхность со складкой А'СВ'. Геометрия аттрактора формируется путем уплотнения складки (А' -*-В', оба листа складки как бы спрессовываются) и склеивания точек А' и В1 с первоначальной точкой А, а точка С подклеивается к В (рис. 4.3 г, д).
Для обеспечения непрерывности склейки в силу условия непрерывности потока необходимо бесконечное множество подобных поверхностей и соответственно отрезков АВ. Как в этом убедиться экспериментально? Введем секушую Пуанкаре, как показано на рис. 4.3д. Сечение Пуанкаре при относительно грубом рассмотрении дает близкую к одномерной кривую типа подковы (рис. 4.4а). Если увеличить разрешающую способность. то проявляются канторовость структуры этой подковы и масштаб-имя инвариантность (рис. 4.4 6, в).
Размерность подобных аттракторов Dp = 2 + d, где d < 1, в силу преимущественного сжатия потока в сравнении с растяжением. Такой аттрактор при грубом рассмотрении представляется почти поверхностью с экспоненциально расходящимися по ней близкими траекториями. Поэтому и размер-
69
ность аттрактора близка к двум. На самом деле 1акмх поверхностей в аттракторе бесконечное множество. Отсюда канторовость структуры в сечении Пуанкаре. Поэтому странные аттракторы не являются многообразиями, а представляют собой прямое произведение многообразия на множество типа канторова.
4.S. Классификация странных аттракторов
Гомоклинические траектории Пуанкаре всегда имеют место в фазовом пространстве системы со стохастическим поведением. В их существовании кроется причина появления счетного множества седловых периодических движений, континуума усгой'шных по Пуассону траекторий, счетного множества грубых гомоклинических траекторий, что и определяет в итоге чрезвычайно сложную картину разбиения фазового пространства на топологически различные типы ее движения. Именно с гомоклиническими эффектами связана возможность рождения динамической стохастичности. т.е. возникновение странного аттрактора. Однако, чтобы в системе реализовались хаотические автоколебания, необходимо обеспечить дополнительное условие: гомоклиническая структура должна быть включена в область аттрактора. Результаты исследований последних лет в области современной теории бифуркаций выявили типичные структуры странных аттракторов, к которым могут быть отнесены известные из теории и экспериментов на ЭВМ режимы хаотических автоколебаний [79]. Странные аттракторы можно разделить на три класса: гиперболические, аттракторы типа Лоренца и квазиаттракторы.
Гиперболические странные аттракторы - это грубые аттракторы, состоящие из множества неустойчивых по Ляпунову траекторий, которые всюду в аттракторе являются седловыми. Не в среднем, а в любой произвольной точке аттрактора траектория седловая! Гиперболические аттракторы не могут включать регулярных, т.е. устойчивых, траекторий любого типа. Примером гиперболических аттракторов тужат предельные множества с К-структурой Аносова [80], соленоиды Смейла- Вильямса [81], Плыкина [82] и др. Однако следует отметить, что в конкретных динамических системах гиперболические аттракторы пока не обнаружены.
Аттракторы типа Лоренца представляют собой негрубые предельные множества, в которых всюду плотны седповые периодаческие движения. Как и в гиперболических аттракторах, в аттракторах типа Лоренца при малых изменениях параметров и правых частей уравнений устойчивые периодические движения не возникают. Аттракторы гина Лоренца форми руются в результате вполне определенного бифуркационного механизма и имеют характерную структуру. Впервые механизм рождения аттрактора в знаменитой модели Лоренца установлен в [83, 84, 53] и сейчас в качестве классического примера рассматривается в целом ряде книг [1-3, 9, 11. 43]. В [79] сформулированы общие математические условия, выполнение которых конкретно выделяет класс странных аттракторов Лоренца. К настоящему времени аттракторы лоренцевского типа обнаруживаются в ряде динамических систем при численном моделировании и с экспериментальной точки зрения являются наиболее близкими но своим свойствам к аттракторам гиперболического типа.
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 131 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама