Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 35

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука , 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebaniyamehanizmah1990.djv
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 131 >> Следующая

К настоящему времени вскрыты и изучены несколько типичных механизмов перехода к квазигинерболическому хаосу в диссина твных динамических системах. Их типичность проявляется в том. что вблизи критической точки различные системы характеризуются качественными, а иногда
Рис. S.I. Образование "подковы Гмейла*' в отображении плоскости (в. о) и я сечении трехмерного потока при наличии гомоклиники (в)
S=P(S)
А' в'С' D' 6
а
в
79
и количественными едгными закономерностями перехода вне зависимости от конкретного вида уравнений и размерности системы, которая может быть и распределенной. Некоторые из типичных механизмов рождения квазиаттракторов рассмотрены в настоящей главе.
5.2. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода.
Универсальность Фейгенбаума
Один из типичных механизмов, реализующий переход от систем Морса -- Смейла к сиаемам с хаотическим поведением, состоит в бесконечной сходящейся последовательности бифуркаций удвоения периода предельных циклов. Этот тип перехода наблюдается в системах со сжатием трехмерного элемента фазового объема и на начальной стадии перехода к хаосу приводит, как правило, к образованию подковы Смейла [104]. Вблизи критической точки при условии, что степень сжатия по всем направлениям существенно превышает растяжение, локально имеющее место только по одному из собственных направлений, переход можно описать с помощью одномерных отображений.
Задолго до открытия странных аттракторов и постановки задачи о путях их возникновения математикам было хорошо известно о возможности сложного поведения во времени простых дискретных систем типа отображений окружности и отображений прямой в себя. В частности, при исследовании гладких однозначных, но необратимых одномерных отображений была установлена возможность реализации серии бифуркаций удвое ния периода циклов. Наличие каскада бифуркаций удвоения периода циклов отображения и закономерности в последовательности их реализаций непосредственно следуют из замечательной теоремы А.Н. Марковского (1963 г.) для гладких необратимых отображений отрезка [105]. Согласно теореме закономерности сосуществования циклов отображения строго подчиняются так называемому порядку Шарковского. В частности, если отображение имеет цикл периода 3, то оно имеет и счетное множество циклов всевозможных периодов р • 2* (р = 1, 2, . . . , к » 0, 1, 2, . . . ). Отсюда сразу следует утверждение: цикл периода 3 рождает хаос.
Нужно признать, что эти фундаментальные математические результаты не были своевременно и должным образом использованы в прикладных исследованиях. Положение стало резко меняться спустя 15 лет с открытием универсальных законов, описывающих каскад сходящихся бифуркаций удвоения. В 1978 г. М. Фейгенбаум установил универсальные количественные закономерности перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, присущие определенному классу одномерных отображений хя+, = ц) [106]. Класс функций fix, ц) определяется требованием гладкости и невырожденности, а также возможностью квадратичной аппроксимации f(x) вблизи максимума. Такие отображения имеют вид параболы, описывая однозначное, но не взаимно однозначное, преобразование отрезка прямой в себя. Оставляя в стороне вопрос
о строгом теоретическом доказательстве закона Фейгенбаума, которое рассмотрено в ряде работ [106-110], обсудим важные для приложений универсальные свойства указанного класса отображений.
80
Так как указанные свойства универсальны и не зависят от конкретного задания f(x, и), исследуем их на примере простейшего огображечия класса Фейгснбаума, имеющего виг»
дг„ + 1 =fi-xl = fixn,n). (5.1)
К виду (S.1) простой заменой переменных сводятся несколько различных •.•HCI.SM, наиболее популярны из которых следующие:
-v„ + i = 1 -цх2„, х„ + 1 =4цх„(1-х„).
Отображение (5.1) представляет собой однопараметричсское семейство кривых типа перевернутой параболы с квадратичным максимумом в почке хк = 0. Найдем цикл отображения (5 1) периода 1 i: исследуем его iu устойчивость. Неподвижная точка в положительном квадранте будет
Я-о = _ (1/2) + i (1/4 + м)1 /2 I (5.2)
(вторая неподвижная точка всегда неустойчива).
Мультипликатор Р\(ц) цикла периода 1
Р.(А«) =/*'(*о.М) = -2*о = 1 - 2 I (1/4 + м)‘/2 I- (5.3)
Чикл устойчив для значений ц в интервале
0,25 < ц < 0.75, (5.4)
i> котором ! Р!(м) | < 1. При м = Мо = 0.75 Pi(Po) * -1 и имеет место бифуркация удвоения периода цикла. Рождается устойчивый цикл периода 2, или 2-цикл. Найдем этот цикл, решая систему двух уравнений для элементов 2-цикла,
х, = и - xZ, х2=ц - х?. (5.5)
Получим
х, = (1/2) + 1(д- 3/4)'/2!. (l/2)-!0i-3/4)‘'a|. (5.6)
Никл периода 2 устойчив в области значений параметра 0,75 < и < 1,25, гак как мультипликатор 2-цикла равен
Рг(») = fx(xt)fx<xi) = 40 ~Ю-
В бифуркационной точке =1,25 2-цикл тсряег устойчивость через удвоение и мягко рождается устойчивы.'? 4-цикл. Продолжив численно процедуру расчета бифуркационных значений цк (к = 2,3 ... ), увидим, что последовательность {д*} накапливается к некоторой критической точке ц - ц* = = i.40115 . . .: я0 = 0,75, и. = 1,25, ц2 = 1,368099, ц3 - 1,394046, д4 = ~ i J99637 и т.д.
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 131 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама