Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 36

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука , 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebaniyamehanizmah1990.djv
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 131 >> Следующая

Сходимость последовательности бифуркационных значений д* к и * характеризуется отношением
&к ~ Д*/Д* + 1 = (Ик +1 - Рк )НРк + г ¦¦ Ры 1 )• (5-7)
( ростом к отношение (5.7) в пределах разумно задаваемой точности перестает зависеть от А: и сходится к константе
й = Iim 6к = 4,669201 . .. (5.8)
* — оо
6. Н.С. Анишснко
81
Г и с. 5.-. Процесс дробления масштабов амплитуд циклов при удвоениях Фейгенбаума
Разность д* - Д* убываем с ростом к но закону геометрической прогрессии со знаменателем
д •-цк=Л&-*. (5.9)
где А = 0,724 - неуниверсальная константа.которая зависит от кон-,“о М’л /Н f крегного вида функции f(x, д).
Если численно построить зависимость усюйчивых неподвижных точек (элементов ^-циклов отображения) от параметра д, то получим результат. качественно изображенный на рис. 5.2. который иллюстрирует
наличие еще одной универсальной константы, характеризующей зако-
номерность в процессе дробления масшгаоов амплигуд.
Точка Хо »ри Ц - Но расщепляется на две Xi и ЗТ:, затем, при прохождении параметром ц значения д - х^ и х2 расщепляются на две каждая, и т.д. Процесс дробления масштабов с ростом д продолжается и демонстрирует универсальные свойства, заключающиеся в том, что
a- lim (ек,'ек^1) = -2,5029 ... (5.10)
к -» -
Из простых расчетов, которые можно провести с использованием карманного микрокалькулятора, следует, что каскаду бифуркаций удвоения периода присуши две универсальные количественные закономерности. Первая характеризует скорость схождения бифуркационных значений
параметра цк к ц‘ и называется универсальной константой Фейгенбаума 6 (5.8). Вторая отражает закономерность в процессе дробления масштабов н называется универсальным масштабным множителем а (5.10).
Структуру и логику, вообще говоря, сложной теории универсальности Фейгенбаума можно проиллюстрировать на основе приближенного анализа, который позволит установить наличие еще одной универсальной константы. Следуя результатам (111, 112, 7, 12], рассмотрим схему приближенного построения ренормгрупп, лежащих в основе строгой теории [106 - 110]. Запишем дважды примененное отображение (5 1)
*п+ 2 =/[/(*„, д)] = Д-Д2 +2д4 ~х% (5.11)
и пренебрежем в (5.11) в силу условия |дс„| < 1 (в этом и состоит
приближенность анализа!). Произведем замену переменных (ренорммруем переменную дс„)
а-' = ~2цх. (5.12)
Отображение (5.11) запишем в форме исходного (5.1), но справедливого для ренормированных элементов 2-цикла:
х'»+г = Д(1) - д(1) = 2д2(Д - 1) = *(д). (5.13)
82
Проведя указанную процедуру ренормировки к раз, получим (штрихи V х в дальнейшем опускаем)
хя+2 к=ц{к)-х2„. ц{к)=^к\ц). (5.14)
Отображение (5.14) описывает ренормированный 2-цикл и гю форме записи совпадает с видом (5.1). Но для (5.1) потеря устойчивости i циклом происходит при до = 0,75. Значит, потеря устойчивости 2*-иик-;юм имеет место для значений Vk> удовлетворяющих уравнению
*(к\»к) - 0,75. (5.15)
Бесконечная последовательность д* (к * 1, 2, 3, ... ) сходится к критической точке д которая есть неподвижная точка отображения <р(д):
д* = *(д*) - - 1). д* =(1 +V3)/2. (5.16)
'1ля больших значений к д* близки к д* и можно разложить ip(/u) в ряд Тейлора в окрестности критической точки:
Д* * ?>(Д*) + ?>д(Д*)(Д*+1 -V*)’ к > 1- (5.17)
Из (5.17) получаем
д „ Д*+1 - Д*
Д* = —:—;-------- , « = *„(Д*) -------------• (5.18)
5-1 Uk+2-Vk+i
;imi исследуемого нами отображения <?(д) задается соотношением (5.13), откуда В = 4 + >/3.
Таким образом, приближенная процедура ренормировки позволила в явном виде получить выражение (5.18) для д*и 5. При построении ренор-мчрованного уравнения (5.14) замена масштаба переменнойх осуществлялась в соответствии с (5.12). В критической точке и близко к ней масштаб переменной таким образом изменился в а раз:
а = -2д* = -(1 +>/3 ). (5.19)
i параметр а и есть универсальный масштабный множитель.
Поскольку в критической точке д =д* ренормированное уравнение {5.14) имеет для любого из циклов периода 2* один и тот же вид, совпадающий по форме с (5.1),
х„+2ь = Д* -х2„, к > \, (5.20)
го в критической точке существует бесконечное множество циклов периода 2*, которые неустойчивы и имеют одинаковое значение мультипликатора
р(д*) = р* = 1 - |(1 + 4д*)1/а | -!,54. (5.21)
Таким образом, закономерность Фейгенбаума характеризуется еще одним универсальным количественным параметром - значением мультипликатора 2*-цикла (k > 1) в критической точке: р* = - 1.54. Этим можно воспользоваться в численных экспериментах при построении линий критических значений параметров [12].
Принципиальные выводы, полученные выше с использованием приближенной процедуры ренормировки, подтверждаются строгой теорией
** 83
Таблица S.l
Сравнение точных значений констант квадратичного отображения с полученными приближенно
Константа Значения Константа Значения
¦ 1
точные приближенные точные приближенные
5 4,6692011... 5,73 Р* — 5.60119... -1,54
а -А50291... -2,73 U* 1,4011551.. 1,37
и численными расчетами. Следствием приближений, использованных при формулировке уравнения (5.14), является лишь то, что количественные значения универсальных констант Ь, а и р*, а также неуниверсальной константы и \ определены с погрешностью, что можно видеть из табл. 5.1.
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 131 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама