Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 49

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука , 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebaniyamehanizmah1990.djv
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 131 >> Следующая

Метод секущей Пуанкаре используется и при анализе динамики неавтономных систем. Введем периодическое воздействие в первое уравнение системы (6.2):
* /i(*i.*i......xN, Jl) + Bsinpt,
^ (о* 14j
Xf = fj(xi,x2,------xN. ц), i = 2,3,... N.
Здесь В - амплитуда гармонического воздействия, р - нормированная частота вынуждающей силы, t - безразмерное время. Число фазовых координат системы (6.14) осталось равным N. Однако в силу неавто-номности системы размерность фазового пространства (6.14) стала равной N + 1. Как определить в этом случае отображение Пуанкаре?
Один из способов заключается в следующем. Как видно из (6.14), Димерное пространство фазовых координат , i - I,.... N, отображается в себя (т.е. точка дг"-1 € [R^ переходит в точку х" € ff^) спустя время, равное периоду внешней силы, t0 = 2тг/р. Для случая р = 1 зто время /0 = 2п. Если выбрать шаг интегрирования At = t0lk, где к - целое число, то можио запоминать значения {х”} .соответствующие моментам времени nt0, где п = 1,2,3,...
110
Например, дня р = I при шаге счета Дг = 2тт/!О необходимо запоминать каждую десятую точку, полученную при интегрировании (6.14). Набранный таким образом массив данных представляет собой дискретное (стробоскопическое) описание динамического процесса в системе в моменты времени, кратные периоду внешнего воздействия. В качестве секущей в данном методе выступает каждый раз новая поверхность определяемая условием
t„ = nt0 = 2тти/р, (6.15)
а отображение Пуанкаре представляется в виде дискретного набора значений фазовых координат {х" } в указанные моменты времени и имеет размерность N. Что же делать дальше с полученным набором данных?
Рассмотрим конкретный пример. Пусть система (6.2) представляет собой двумерное (N - 2) неавтономное уравнение
*1 /l(*b*2> ?) + B%h\Dt, х2 = /2(*,,х2. ?), (616)
(для простоты примем р = 1). Подобными уравнениями можно описать язление синхронизации генератора Ван дер Поля. В памяти ЭВМ в этом случае имеем набор из п пар точек { х", х"}, характеризующих состояние системь: (6 16) в дискретные моменты времени nt0 = п ¦ 2п (п = = 1, 2, 3,...). Если изобразить это множество точек на плоскости переменных xt, х2, го получим отображение двумерного фазового пространства на себя через период внешней силы, представляющее собой проекцию множества точек пересечения траектории Г с секущими плоскостями на интересующую нас плоскость координат. На рис. 6.3 показан случай синхронизации на частоте внешней силы, когда начальная точка (х®, х2) отображается в себя же через интервалы времени Дг = 2п.
Регулярным (периодическим) режимам, как и в автономном случае, соответствует конечное при сколь угодно больших п число точек в отображении Пуанкаре. В режиме странного аттрактора множество точек Iх'[, х" ) на плоскости выглядит случайным. Их число всегда равно п, так как фазовая траектория не замыкается. Это стохастическое множество может выглядеть чесьма забавным и эволюционирует с изменением пара метров системы ц. Наглядность отображения Пуанкаре при N > 2 утрачивается. и в этих случаях прибегают к построению его двумерных проекций.
Рассмотрим один из примеров, в котором указанным методом анализируется динамика неавтономной трехмерной системы [153]
х = у. v = -0,125(х2 + 3z2)x - ktv + Boost,
(6.17)
z = -k2 ¦ 0,12S(3x2 + 7J)z + B0.
В уравнениях (6.17) kt, k2 и B0 - параметры системы. Дня значений kt = = к2 - 0,5 и В0 = 0,03 система интегрировалась для различных амплитуд В и вычислялись предельные множества в трехмерном отображении фазового пространства на себя через период внешней силы /0 =
Авторами обнаружено при этом интересное явление бифуркаций двупериодических решений. В сечении Пуанкаре на плоскости, как уже отмечалось, двумерному тору однозначно соответствует инвариантная зам-
111
Рис. 6.3. Отображение фазовой плоскости не-авюномной системы (6.16) на себя через период внешней силы в режиме синхронизации
Рис. 6.4. Предельные множества системы (6.16) в проекции стробоскопического отображения на плоскость: а - инвариантная замкнутая кривая, б. в - удвоение инвариантных кривых, г -странный аттрактор
кнутая кривая, бифуркации которой адекватны бифуркациям тора. На рис. 6.4 показана эволюция инвариантной кривой в проекции трехмерного отображения Пуанкаре на плоскость переменных х, у через период внешней силы. Как видно из рис. 6.4, инвариантная замкнутая кривая с ростом интенсивности воздействия В претерпевает серию бифуркаций удвоения периода, завершающуюся рождением странного аттрактора. Бифуркация удвоения периода для двумерных торов авторами [153] при численных исследованиях, по-видимому, наблюдалась впервые. Как показали дальнейшие исследования, число удвоений двумерного тора, предшествующее рождению стохастичности, при конечных амплитудах В конечно и механизм перехода к хаосу здесь связан с закономерностями разрушения тора [13].
В качестве отображения Пуанкаре неавтономной системы можно рассматривать и множество точек пересечения траектории Г с определенным образом выбранной фиксированной секущей S, т.е. вводить секущую уравнением (6.3) в IR^, как и в автономном случае.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 131 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама