Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 50

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука , 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebaniyamehanizmah1990.djv
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 131 >> Следующая

6.3. Численный анализ периодических решений и их бифуркаций
Важным для практики классом решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений являются периодические по времени решения x(t) = х(t + Т), которые для удобства называют циклами. Интересные сами по себе, эти решения и их эволюция с изменением параметров играют особую роль в объяснении многих механизмов рождения странных аттракторов.
С исследованием циклов возникает ряд самостоятельных вычислительных проблем. Прежде всего, нужно решить задачу нахождения периодических решений при фиксированных значениях параметров системы и опредсле-
112
кия характера их устойчивости. Во-вторых - задачу изучения эволюции конкретного семейства циклов с изменением параметра и выяснения возможных бифуркаций, обуславливающих потерю устойчивости циклом. И, наконец, необходимо решить задачу построения бифуркационных диаграмм в пространстве параметров системы, определяющих области существования и характер потери устойчивости циклом на границах области.
На практике, естественно, может возникнуть еще целый ряд вопросов, огвет на которые связан, например, с необходимостью построения устойчивых и неустойчивых многообразий седповых циклов, выявлением гомоклинических траекторий и т.д. Однако указанные выше задачи являются наиболее общими, и здесь мы ими ограничимся.
Обратимся снова к автономной системе уравнений (6.1), задающей пс гок в пространстве IR^.
1. Найдем периодическое решение системы (6.1). Для этого необходимы приближенные сведения о расположении цикла в фазовом пространстве и характере его устойчивости. Например, если цикл мягко рождается из положения равновесия типа фокуса в соответствии с бифуркационной теоремой Андронова—Хопфа, то при малом смещении по параметру от точки бифуркации предельный цикл нужно искать вблизи неустой-чисой особой точки. Встречаются другие ситуации, допускающие качественную интерполяцию, которая приближенно может указать форму и область локализации цикла в фазовом пространстве.
В основу численного нахождения цикла можно положить тот факт, что точка пересечения цикла [' в [Rw с секущей 5 есть неподвижная точка дг* отображения Пуанкаре Р(хп). Пусть х(г) - периодическое решение системы (6.1) с периодом Т. Траектория Г в фазовом пространстве пересекает поверхность5 в точке**, удовлетворяющей условию
х •=Р(хщ). (6.18)
Предположим, что из каких-либо соображений нам известна точка дг0 на секущей 5, близкая к неподвижной точке дг*. Найти последнюю можно, решая уравнение
х=Р(х) (6.19)
с помощью итерационной процедуры Ньютона
хп~хп—j — [Р(ха_ 1) - хп _ 1 ]/[Л/(дгп_ j) — Е], (6.20)
где Р(х) - отображение Пуанкаре на S,M(х) - линеаризация отображения в точке х. Е — единичная матрица. В качестве начального приближения задается близкая к х* точка дг°. Сходимость итерационной процедуры не зависит от характер устойчивости цикла! Если известно заранее, что цикл устойчив, то можно использовать метод простых итераций отображения Р.
Неподвижная точка дг* вычисляется с заданной степенью точности е, если выполняется условие
1*п -*л-1 j<€. (6.21)
Когда х* найдена, то, выбрав в качестве начальных условий ее координаты дг(0) = дг*, систему (6.1) интегрируют из начальной точки до момента г = Т,
Я. B.C. Анишенко
113
когда траектория Г вновь пересекаем S в х - х* , тл. выполняется условие jc« =jc(0) = jc(7’), (6.22)
определяющее период искомого цикла Г.
В результате численного интегрирования строится весь цикл в фазовом пространстве или его проекция на интересующее подпространство, как правило, размерности N = 1 (реализация одной из фазовых координат) или N=2 (проекция цикла на выбранную плоскость двух переменных).
Если заранее известно, что искомый цикл Г пересекает секущую к раз, то неподвижная точка х» должна быть соответствующей тактности, что необходимо учесть при записи уравнений (6.18) - (6.20)
После нахождения цикла ли исследуется на устойчивость, определяемую в линейном приближении мультипликаторами цикла или (то же самое) мультипликаторами неподвижной точки х* отображения Пуанкаре. Возможны два пути численного решения этой задачи: определить либо собственные числа оператора монодромии Y(Г), либо собственные числа линеаризации отображения Пуанкаре в неподвижной точке х*. Если все мультипликаторы Р| (/ = 1,2,. . . ,N - 1) отображения Пуанкаре принадлежат внутренности единичного круга, то найденный цикл асимптотически устойчив по Ляпунову.
2. После гого как цикл найден и определен характер его устойчивости, приступают к решению второй задачи. Цикл известей дня конкретного значения параметра ц - но системы (6.1), и задана неподвижная точка дг*(^0) на секущей S, принадлежащая циклу. Требуется проследить численно эволюцию этого решения при вариации параметра ц от значения ц - ц0 до значения цк - цо + кАц (& - целое число, Д/и — шаг движения по параметру). Дня этого в общем случае (для различных к) из начальной точки х° (цк) методом Ньютона уточняется неподвижная точка х*(/и*) (к -= 0, 1, 2,...) на цикле Г(р*). Эта точка используется затем з качестве начального приближения для определения близкой к циклу Г(р* + j) начальной точки
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 131 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама