Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Маттис Д. -> "Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений" -> 112

Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.

Маттис Д. Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений — М.: Мир, 1967. — 409 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyamagnetizma1967.djv
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 148 >> Следующая

eti/2тс = 0,927-10-20 эрг1гс; это соответствует расщеплению на 2А = 1 ел-
1, когда g = 2 и Я = И ООО гс. Если "в среднем" п спинов параллельны полю
Я, а N - п антипараллельны ему, то "средняя" энергия каждого спина и и
полная энергия U равны
Гильберт [1].
(1)
u = ^=^-(N-2n)h=<,l-2p) h.
(2)
где p = n/N.
294
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Кавычки в предыдущей фразе означают, что понятие среднего еще нужно
определить. В самом деле, вначале мы будем интересоваться скорее наиболее
вероятным значением п, чем строго средним. Статистическая механика в
действительности требует введения точных аксиоматических основ, но для
первого знакомства эвристический подход является наилучшим.
Вероятность того, что будет достигнуто распределение, определенное
равенством (2), есть
<3>
где Р (U) - термодинамический множитель Максвелла - Больцмана, подлежащий
определению; второй множитель - биномиальный коэффициент (дающий число
различных сочетаний, соответствующих правильному значению п),
отнормированный последним множителем, обратным полному числу сочетаний.
Следовательно, Q равно произведению двух независимых вероятностей Р (U) -
термодинамической априорной вероятности для системы иметь энергию U и
статистической вероятности, соответствующей данному значению U или п,
которая представлена оставшимися множителями. Далее, используя
приближенную формулу Стирлинга
InTV! ~NlnN-N, (4)
легко заметить, что полная статистическая вероятность Q экспоненциально
зависит от N. Поэтому In Q есть экстенсивная переменная, т. е. такая,
величина которой определяется размерами системы, и, следовательно, In Q -
подходящий объект для исследования
In Q = Ini3 (U) - TV [In 2-\-p Inp-|- (1 - p) In (1 - /?)], (5)
где p = nIN. Далее, для определения P (U) имеются следующие разумные
критерии:
1) In Р (U) должен быть экстенсивной величиной;
2) он должен быть безразмерным;
3) он должен максимизировать полную вероятность Q.
Условию 1 удовлетворяет In Р ~ + U', для выполнения условия 2 достаточно
умножить ±U на интенсивную величину (т. е. не зависящую от N) размерности
(энергия)-1. Условию 3 можно удовлетворить, учитывая, что в природе
всегда осуществляются состояния с наименьшими энергиями, что исключает
состояния с энергией -\-U в пользу состояний с энергией -V. Таким
образом,
Р(и) = е~*и,
(6)
СПИНЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
295
где р - интенсивная величина, которую можно выбрать в виде
f-W Р)
(к - постоянная Больцмана, равная 1,38-10_1в эргГ К; Т - температура в °
К). Этот вывод предполагает, что две системы в состоянии
термодинамического равновесия имеют одинаковое значение температуры Т
(см. задачу 1). Однако проблема определения температурной шкалы и другие
интересные тонкости термодинамики выходят за рамки этого раздела; их
можно найти в ряде книг по данной тематике.
Задача 1. Разделите систему из N спинов на подсистемы из щ, п2, ¦ ¦ ¦
спинов так, чтобы 2 nt= N. Пусть соответствующие температуры этих
подсистем равны Т1, Т2, . . ., а полная энергия равна v. Покажите, что Q
максимально, когда Тi= Т2= . . ., т. е. докажите, что термодинамическое
равновесие достигается при однородной температуре. Затем выведите
уравнение (14) (см. гл. 7, стр. 241) для фермионов.
По аналогии с определением Р (U) удобно определить свободную энергию F и
свободную энергию /, приходящуюся на один спин:
Q = е-№ = e~Wf. (8)
Исключая Q, найдем
/--= (1- 2р)/г-ЬА-7,[1п2-^р1пр + (1 - р)1п(1 - р)]. (9)
Нам известно, что энергия / должна быть минимальной, поэтому мы ищем
решение, удовлетворяющее условию
откуда непосредственно следует
p = l+e-m ¦
Подстановка этого выражения в (2) дает правильное значение внутренней
энергии, а подстановка в (9) - правильное значение свободной энергии в
состоянии термодинамического равновесия, которое будет выведено другим
методом.
Эти же результаты можно получить несколько проще и в более общем виде,
разделив произвольную систему на большое число подсистем, каждая из
которых с вероятностью pt имеет энергию ег. Предположим, что полная
свободная энергия является суммой таких членов:
Fг = eiPi kTpi In pi = (егрг) - Т ( kpt In ~ ) . (12)
296
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Величины в скобках (егр,) представляют собой внутреннюю энергию i-ж
подсистемы, а In (1/р,)] =S (pt) - ее энтропию. Минимизируя F по
переменной р;, находим
-Ре;
Pi = 1-Z-> (13)
где Z выбрано так, что = 1- Нормировочный множитель Z называется
статистической суммой (Zustandsumme)
(14)
Второе равенство позвляет работать в представлении, в котором
гамильтониан Ш недиагонален, а это часто бывает удобно. Величина, шпур
которой мы вычисляем
(15)
известна как матрица плотности; это квантовомеханический оператор,
обобщающий понятие классического множителя Больцмана.
Физический смысл статистической суммы и величины Q одинаков; обычно
вычисление Z методом перевала дает в точности Q при условии, что N -
большое число. Таким образом, мы заново определим свободную энергию
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 148 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама