|
Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.Скачать (прямая ссылка):  Будем всегда в качестве zt выбирать большее собственное значение, так что в предельном случае длинных цепочек (N -*¦ оо), Z -у z^. Матрица перехода V, явно играющая весьма большую роль, получила свое название из следующих соображений. Пусть Р и 1 - Р равны соответственно вероятности первому спину быть направленным вверх и вниз. Тогда вероятность того, что второй спин будет направлен вверх и вниз, ^ и 1 - Q, можно связать с Р уравнением Коэффициент z легко найти, потребовав, чтобы векторы вероятности были нормированы так, чтобы полная вероятность равнялась единице, т. е. чтобы сумма их компонент равнялась единице. Как известно из обычной теории матриц, z должно лежать между наибольшим собственным значением z4 и наименьшим z2, если только вектор вероятности не является собственным вектором оператора V. В этом последнем случае Р = Q, и, более того, собственный вектор оператора V является также собственным вектором оператора Vr, г = 1, 2, . . ., так что в собственном и только в собственном состоянии вероятность г-му спину быть направленным вверх имеет то же значение, что и для первых двух спинов. Таково одно условие термодинамического равновесия. В длинной цепочке (конечно, термодинамика применима только для очень больших ансамблей) различные спины имеют одинаковое окружение, поэтому в состоянии термодинамического равновесия они должны быть неразличимы. Это условие выполняется, если потребовать, чтобы вектор вероятности был собственным вектором оператора V. Но как произвести выбор между двумя собственными значениями и z2 и между двумя соответствующими им собственными состояниями? И здесь также можно дать однозначный ответ. В случае меньшего собственного значения z2 невозможно выбрать собственный вектор так, чтобы сделать и Р и 1 - Р положительными. Это серьезный недостаток, который не позволяет интерпретировать собственный вектор оператора V как вектор вероятности. С другой стороны, поскольку все матричные элементы V положительны, легко проверить, что собственный вектор, принадлежащий наибольшему собственному значению, с необходимостью должен быть составлен из членов только одного ц* ¦_ -II ^-г огп^ -1 (63) z(Q, 1 ~Q) = (P, 1 -P)-V. (64) ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ИЗИНГА 311 знака, поэтому его можно сопоставить вектору вероятности. Этот вывод согласуется с общей идеей относительно того, что z должно иметь наибольшее из возможных значений. Оба собственных значения легко найти из решения обычного детерминантного уравнения, из которого следует zu 2 = ch РА ± У eW ch2 (ЗД - 2 sh 2fj. (65) Но мы уже показали, что интерес представляет только положительная ветвь. Если h = 0, то Z - (zj)-', что превосходно согласуется с предыдущим расчетом [см. (59)]. Фиг. 8.4. Удельная теплоемкость (a) it магнитная восприимчивость (о) одномерного ферромагнетика в модели Изинга. Темой задачи 6 является отсутствие дальнего порядка в этой одномерной модели. Это обстоятельство тесно связано с отсутствием спонтанной намагниченности при любой конечной температуре (Т > 0) и с отсутствием фазовых переходов в одномерном случае. Удельная теплоемкость в отсутствие поля {N~ldUldT)h=о равна с {Т) ch (66) а магнитная восприимчивость (d://-/dh)h=o имеет вид x~T-'2J/,,T- (67) Графики этих величин изображены на фиг. 8.4. Легко видеть, что это непрерывные функции температуры; таким образом, имеется существенное отличие от результатов теории молекулярного поля. 312 8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Задача 6. Покажите, что в результате применения оператора Vя к произвольному вектору вероятности (Р, 1 - Р) [см. (64)] получается некоторый другой вектор вероятности, умноженный ua zn, причем zn стремится асимптотически к z? (с точностью до членов порядка е~я). Если нужно, обратитесь к гл. 3. Покажите, что конечный вектор вероятности в пределе не зависит от Р, если предположить только, что Р > 0 и 1 - Р > 0. Используйте эти результаты, чтобы показать, что спонтанная намагниченность исчезает при любой конечной температуре. Задача 7. Получите термодинамические функции F, с = N~l dU/dT и У. для антиферромагнитной цепочки Изинга, с гамильтонианом МАГПИТОСТРИКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКИ Несмотря на свою физическую ограниченность, модель Изинга настолько проста, что естественно желание исследовать на этой модели эффекты, связанные с немагнитными степенями свободы. Одним из таких примеров может служить магнитоупругое взаимодействие. Оно не сводится к явлениям, которые можно отнести к маг-нитострикции обычного типа, так как последняя в основном определяется спин-орбитальным взаимодействием - движением и ориентацией доменов и, естественно, не может быть корректно рассмотрена в рамках одномерной модели. Но эффект однородного магнитоупругого взаимодействия, так называемую объемную магнитострикцию, можно имитировать простой моделью, основываясь на том наблюдении, что коэффициенты связи двух соседних спинов могут увеличиваться или уменьшаться по мере изменения расстояния между атомами. Следовательно,
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
