|
Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.Скачать (прямая ссылка):  магнитный гамильтониан можно рассматривать как дополнительный источник потенциальной энергии для динамических колебаний решетки и, таким образом, можно ожидать изменения объема и даже формы решетки. (Однако в одномерном случае форма решетки не существенна.) Поместим и-й атом в точку (па + хп), где а - межатомное расстояние. Гамильтониан упругих колебаний атомов цепочки имеет вид П а гамильтониан Изинга равен S (^* ~Т~ ^-л+i %п) (69) п Можно, как обычно, предположить, что амплитуда тепловых колебаний на один или несколько порядков меньше а, поэтому МАГНИТОСТРИКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКИ 313 параметр связи можно разложить по атомным смещениям, ограничившись членами низшего порядка / (а + *n+i -xn) ^J (а) (1 + т] ^'a-, (70) где Г] = dJn^.Ja)_ ;__ Первый коэффициент магнптострикции. (71) Комбинируя эти два гамильтониана, получаем 2 т = 2 [^j+~M^l{xn+i-xnf- п - / (а) (1 + Л о?о?+1 - he'n ] . (72) Посредством канонического преобразования можно точно найти собственные состояния и построить статистическую механику с помощью этого гамильтониана. Желательно устранить перекрестные члены, которые связывают атомные смещения со спиновыми координатами. Это можно выполнить, сдвинув начало отсчета движения каждого атома на величину 1 J (°) Р XI 2 2 ,7.1, (И) ;<п Выполняющее такой сдвиг унитарное преобразование есть eiR, где В = ~ Рп ah Alai ^ п j<n так что каждый оператор (в том чпсле и гамильтониан) преобразуется следующим образом: On->e_iR On ет. (75) Так как все операторы, за исключением координат хп, коммутируют с R, то единственным результатом такого преобразования является линейный сдвиг (73). возникающий в новом гамильтониане "^2 "+.-аЕй]- 71 <76) 8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Аналогично тому, как гамильтониан можно записать к виде суммы трех невзаимодействующих частей: о&?фОН (фононы - решеточные колебания), 3?i (обычный гамильтониан Изинга) и -IV (постоянная энергия взаимодействия), статистическая сумма представима в виде произведения трех сомножителей, а свободная энергия превращается в сумму трех невзаимодействующих членов. Уместно кратко показать, как получается статистическая сумма для фононов, поскольку это типичный пример, в котором используют статистику и квантовую механику бозонов. Прежде всего желательно выразить р,г и хп через операторы рождения и уничтожения бозонов я" и я*, определяющиеся следующими соотношениями коммутации: О-пЯт ^7п&п [^7И ^77l] - О, [Яп, Я7/1] - 0, Я/м] - 671, 771¦ (^ О В этих обозначениях мы можем написать хп=\/^(ап^а*), рп=--Лу/ГУ^ (ап-а*), (78) где со - произвольный параметр размерности сек-1, например со=со0. Далее делается преобразование к бегущим волнам я,,. = -?= V, a^elhn, а* --\=г- У1 я*е-1"", к-- X Целое число. ул- * п ул- _ Д (79) Здесь яд, я* - новый набор бозе-операторов, подчиняющихся соотношениям коммутации (77). Из-за инвариантности относительно трансляций (т. е. за счет того, что (1/7V)5j е^р [г (к - к') п\ -¦ П = бд, ft-), остающиеся после этих последовательных преобразований члены гамильтониана имеют вид одного из следующих четырех операторов: я*Дй ^па, яйя* - 1 -j- л*, aha-k и a*ha*_h. (80) Следующее преобразование - каноническое, и им можно воспользоваться для исключения двух последних (недиагональных) членов: я* -* Я/, ch /й -г a*_k sh /А, at -> at ch /й - a-k sh /*. где /ft - - ft~ ¦ /-ft [ср. гл. 6, выражение (171), стр. 2231. Функция fh должна быть выбрана так, чтобы диагонализовать после чего гамиль- тониан принимает следующую форму: -ЗГфон-Ц гтк (пй 4) . (82) МАГНИТОСТРИКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКИ 315 Из вычислений видно, что для малых к coA"rs|A], (83) где s - скорость звука. Задача 8. Проделайте указанные в тексте преобразования и в явном виде диагонализуите <Хф0Н- Получите соА и найдите выражение для скорости звука s. Гамильтониан (82) позволяет в отсутствие взаимодействия вычислять шпур отдельно для каждого колебания (т. е. для каждого значения А), причем каждое колебание дает вклад в виде множителя ZA = Sp (e_^,1Шft<rl^!_1•'г,) -г У е_РЛш/!(пА+1/2) - "й = ° = е-Рйшлз/2 + e-Pftcoftt/z t (84) и свободная энергия принимает вид - ylnZft = yln ^2sh-i-pScoftj . (85) Статистическая сумма равна YIZА, а полная свободная энергия фононов равна = У] In (2 sh-|- рЙсоА ) . (86) it В заключение отметим, что каноническое преобразование, которое сдвинуло координаты решетки, имеет физический смысл. Так, если атомы сдвигаются, это немедленно обнаруживается в виде изменения длины цепочки. Подсчитаем среднюю (ТА) длину L - Na + <ziV+1 - 1 а5ст1+1/>7,л (xi)ta - K-V--1 = Л'а-^-(87) где Uj - внутренняя энергия изинговских спинов в отсутствие магнитного поля и при постоянном межатомном расстоянии. Если мы обозначим удельную магнитную теплоемкость при постоянном межатомном расстоянии и нулевом магнитном поле через с, -- - ~ , к - 0, а --- const. (88) то сможем сопоставить коэффициент теплового расширения a = dL/dT (механическую характеристику цепочки) с с, - с магнит-
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
