|
Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.Скачать (прямая ссылка):  умножения детерминантов на скалярные величины каждую строчку справа теперь можно умножить на функцию, стоящую на главной диагонали первого детерминанта, и это приводит к третьей форме выражения (73). С числителем расправляются таким же образом, хотя задача в этом случае несколько сложнее. Мы можем не предполагать МЕТОД ЛЁВДИНА И КАРРА 79 инвариантности отдельных членов в потенциальной энергии по отношению к обмену координат частиц. Однако полный гамильтониан инвариантен относительно такого обмена. Для одночастичных потенциалов мы получаем 5 | УI2 2 и (о) dsO... =¦ 2 J 1* (г° U {ri) ^{ri) d*1 I d*' ¦ ¦ ¦ i i, j ¦ ¦ ¦ d-Si-i d3ri+l . . ., (74). а для двухчастичных потенциалов 5 |ЧЧ*2 2V(r", r})d3r{ ... = 2 \ фТМфТОч)^. rj)x i=t=i i. j, i, m X Фг (rt) <pm (rj) jj Dym d3rу .. . d^i-i d3ri+l . .. d3r}-y d3rj+L .... (75) Сумма этих членов, если разделить на знаменатель, равна ферромагнитной энергии. Подынтегральные выражения D) и D]]m получаются из последнего выражения для знаменателя (73) путем вычеркивания i-й строчки и /-го столбца для получения D) X (- 1)*+3, а t-я и /-я строчки, I-й и тп-й столбцы вычеркиваются, чтобы получить Dim X (- l)i+j+z+m. Эти странные функции явно вводятся в интегралы энергии. Далее все эти детерминанты можно легко оценить путем разложения, интегрирования и объединения членов. Сперва находят Знаменатель - Det | Ьц [, где = ф* (г) (fj (г) d3r. (76) Видно, что интеграл от D) есть просто минор детерминанта с элементами Lij. Из обычной теории детерминантов имеем [ D\d3r. ... -j- J ----= (L~1)ij (77) Знаменатель ' ' и аналогично: I D\m d3rl ¦ ¦ ¦ Знаменатель Здесь L 1 - матрица, обратная L, причем последняя определяется как квадратная матрица с элементами L^. В твердых телах, которые обладают трансляционной инвариантностью, они суть циклические матрицы и легко могут быть обращены [18-20]. Рассмотрим для примера одномерную цепочку с перекрытием только ближайших соседей. Тогда Lu = 1 и s I, а все другие матричные элементы исчезают. Чтобы сделать матрицу 80 2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ цикличной, мы положим N +1 = 1, что эквивалентно периодическим граничным условиям. Собственные векторы L являются плоскими волнами eihn при к=±2л Цо++чпсло t (79) а собственные значения L* = 1 + 21 cos к. (80) Таким образом, можно проверить, что Lnm = 1IN 2 eih<-n~m^Lk к ii, что более важно, матричные элементы обратной матрицы имеют вид №-U = T2e<"""">+ = к = Лй С°з9,(;"~? = rfln-m| , (81) 2л J 1 -2Jcos0 1 - d2 ' v ' - Л где l = т- е- rf = ^r(l ~У1- 4/г) ~ -г- Сумма по к в первой строке была заменена во второй строке соответствующим интегралом (в пределе N ->- оо). Видно, что элементы обратной матрицы экспоненциально уменьшаются с расстоянием | п - тп |. Следовательно, если I достаточно мало, то останется только [ п - m | = 0, что соответствует (как мы увидим) гейзенберговскому взаимодействию ближайших соседей. Проиллюстрируем это для случая трех измерений на примере простой кубической структуры. Используя выражение (72) и последующие, находим, что энергия ферромагнитного состояния в трехмерном случае равна Яферро =22 (L_1)U \ Ф* (Г) U (Г) Ф' (Г) АзГ + г j + 2222 J гф* (о ф? (г')-<р* (О ф* (oi х i j I m X V (г, г') фг (г) фт (r1) d3r d3r\ (82) Допустим, что Rn = ап = а(щ, n2, n3) и RmJ = an'= a (n\, n'2, n3). (83) Определим tfk = 2 e-ik R0 5 ф? (г) и (г) ф,(0 d3r (84) МЕТОД ЛЁВДИНА И КАРРА 81 II Lk = 2 e~lk-Ti4Lij = 1 -f-21 (cos kxa 4- cos kya 4- cos kza). (g5) Таким образом, если не соблюдается неравенство I <_ 1/в, некоторые Ьк равны нулю и Li} не может быть обращена. Используя ОО тождество 1//- ^ dse-s> и определение In (z) - функции Бесселя о мнимого аргумента [см. гл. 8, уравнение (99), стр. 320], мы легко найдем оо (L-%; = jj dse-4n. (2 si) I г,' (2 si) 1^ (2 si) - Lrx (n[, n'" n'), (86) 0 указывая явную зависимость от расстояния с помощью аргумента (и(, п2, и') и допуская, что I < 1/6. Заметим, что член наибольшего порядка L-1 (0) = 1 4- 6Z2 ^ 1, a L'1 (1, 0, 0) = - I, Zr1 (1,1,0) и L~l (2, 0, 0) порядка (Z2) и т. д. В конце концов для энергии ферромагнитного состояния получим Ефе-р-рг, = 2 "2^7 "^2 ^ 1 1 (п ) х к [, 771, П, п' х 5 [ф* (г) Ф? (г')-ф? (Г') Ф* (г)] V (г, г') "р, (г) ф," (г') d3r d3r', (87) где R, = Rj 4- an и R;- = Rm. - ап'. Члены L_1 (0) описывают прямое и гейзенберговское обменное взаимодействие, V и U в обозначениях, которые мы использовали для молекулы водорода. Члены L~l (1, 0, 0) включают интегралы, напоминающие интегралы, с которыми мы имели дело при рассмотрении трехатомной молекулы L_1( 1, 0, 0) /Г1 (0) ^ [ф*+а(1, 0, 0) (0 Фт (О - - фГ+dfi, о, 0) (О фш (0) V (г. О ф! (г) фш (г') d3r d3r'. Эти и последовательно более усложненные члены не могут быть связаны с простыми операторами вида Sj-S;, но требуют таких комбинаций, как (Sj-S^Sy-Sm) или (SrS,S"-Sm) и т. д. (88) для их описания. К счастью, они входят со все возрастающими степенями I и, следовательно, ими можно пренебречь, если Z достаточно мало. Заметим,
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
