Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Маттис Д. -> "Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений" -> 36

Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.

Маттис Д. Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений — М.: Мир, 1967. — 409 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyamagnetizma1967.djv
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 148 >> Следующая

= Z+L -\-LZ{LZ-К), (15в)
- L L+ -\-Lz (Lz -f- %). (15r)
Различные альтернативные формы для оператора L2 получаются одна из другой
с помощью соотношений коммутации (14) и определений (10) и (И). Одни из
них окажутся полезнее других, если, скажем, использовать собственные
функции L z.
Не составляет труда доказать, что L2 коммутирует со всеми компонентами L,
т. е.
[Z2, Lz\ = [Z2, Lx] = [Z2, Ly\ = [Z2, Z*] = 0. (16)
В этом можно убедиться, проверив соотношение для L г. Произведение
(Z+Z~), которое появляется в уравнениях (15), не изменяет произвольную
собственную функцию оператора Z2, а лишь умножает ее на константу, так
как если L~ уменьшает собственное значение на единицу, то Z+ возвращает
его к своему значению; то же относится и к произведению (L~L+).
Вследствие этого операторы Z2 и Lz одновременно диагональны и,
следовательно, они коммутируют. Это может быть проверено и справедливость
приведенных выше равенств (16) для других компонент может быть
установлена с помощью основных соотношений коммутации (12)-(14). (Однако
для орбитального момента существует непосредственное доказательство: в
оператор Z2 не входит азимутальный угол ф и, следовательно, он должен
коммутировать с З/Зф. А значит, оператор Z2 из-за центральной симметрии
должен коммутировать и со всеми другими компонентами L.)
Поскольку операторы L2 и L. коммутируют, они имеют общую полную систему
собственных функций, которые можно обозначать с помощью собственных
значений каждого из этих операторов. А вот операторы Lx и Ьу (а также Z±)
не коммутируют с L z, и они не могут быть диагонализованы одновременно с
двумя предыдущими операторами; следовательно, их собственные значения не
могут быть определены одновременно. Но в выборе компоненты не содержится
потери общности, так как ось z можно выбрать вдоль любого произвольно
взятого направления. В случае орбитального момента нужные собственные
функции - это, как мы обнаружим ниже, хорошо известные сферические
функции.
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
89
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Радиальная зависимость волновой функции не играет никакой роли в
определении момента количества движения, поэтому мы можем обойтись вообще
без нее и рассматривать только функциональную зависимость от углов.
Волновые функции нормируются на сфере единичного радиуса:
2 л я
dcp ^ d0 sin 0\p* (0, ф)ф(0, ф) = 1, (17)
О -л
а два уравнения для собственных значений имеют вид
Ч" = Летмр (18)
И
L^^-n'[lke~k(sillQ-k)+like^]^ = ht^ (19)
с собственными значениями т ("магнитное квантовое число") и X. Мы еще
указываем квантовомеханическую единицу момента Й, но в конце концов
удобнее использовать такие единицы, в которых k = 1, и в дальнейшем в
этой книге будут приняты именно такие единицы.
Уравнение (18) для оператора Lz может быть проинтегрировано
непосредственно:
ф(0, ф) = е!'тЧ)ф (0, 0). (20)
Теперь, чтобы определить квантовые числа т, следует включить граничные
условия, причем очевидно, что необходимо потребовать однозначности ф (0,
ф) на единичной сфере. Следовательно, нам нужно, чтобы имело место
соотношение
егт(ф+2л) eimqi! (21)
которое удовлетворяется следующим выбором:
ш = Целое число = 0, i 1, +2, ... (22)
Возможны и другие граничные условия, но они будут нарушать другие
требования квантовой теории, о которых мы еще не говорили и о которых
скажем в следующем разделе. Те же самые граничные условия (21)
использовались и Дираком (см. Замечание в конце раздела) для
доказательства того, что электрический заряд квантуется в единицах
фундаментального заряда q.
Решение (20) теперь можно ввести во второе дифференциальное уравнение
(19), которое представляет собой уравнение для определения собственных
значений оператора L2. Непосредствен-
90 3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
но находим
(-Цг^-sine^---------------Д?_+ь)ф=,0; (23)
V sm0 50 50 sin2 0 / т ' '
этому уравнению удовлетворяют присоединенные полиномы Лежандра, свойства
которых хорошо известны. Но если бы они не были известны, то следующая
конструктивная процедура могла бы помочь определить собственные значения
элементарными средствами.
Допустим, что волновая функция ф (0, ф) = е1шч'ф (0, 0) представляет
собой решение следующего дифференциального уравнения первого порядка в
частных производных:
?+ф(0, ф) = 0. (24)
Согласно уравнению (15г), ф есть собственная функция оператора L2 с
собственным значением
Я = т (/га-f-1). (25)
Это значение т - особое, на основании предыдущего уравнения ф = 0. Оно не
может быть увеличено. Иначе говоря, это - максимальное значение
азимутального квантового числа для
вычисляемого значения Я. Обозначим его символом I. Следова-
тельно,
Ь = 1(1 + 1), (26)
а т по-прежнему обозначает азимутальное (или "магнитное") квантовое
число. Для функции, которая подчиняется уравнению (24), I = т. Применяя
последовательно оператор L~, можно получить функции, соответствующие тому
же самому значению Я или Z, но с меньшими магнитными квантовыми числами т
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 148 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама