|
Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.Скачать (прямая ссылка):  перечисления, если мы настаиваем на целочисленных значениях момента количества движения, для которых были получены сферические функции. Недостающие четноразмерные матрицы представляют собой операторы спинового момента для полуцелых чисел J, т, и если их включить, то набор будет полным. {i'm' \J+ jm) = 6j, J'6m+1, m-h Va - m) a -f m -h 1). (i'm' /- jm) 6j, m-h У (j - m-t-1) (j -j- m), (i'm' Кг im^j - 8jt j'&m, m'AWT, (i'm' | J2 jm) = 8j, /бт, ?n'A2/ (/ -j- 1). СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ПАУЛИ 97 СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ПАУЛИ Здесь мы расскажем о неприводимом представлении момента количества движения четной размерности - о матрице спина, равного 1/2. Они очень похожи на матрицы Паули 2x2, которые изобретены именно для описания спина, т. е. внутреннего (собственного) момента электрона. В этом наименьшем подпространстве, согласно выражениям (40)-(43), операторы спина имеют вид S+ = h 0 1 0 01 Ч2 0 0 0 , S~ = h 1 Of Sz = % 0 -Чг (45) 52: 1 о 0 1 (46) Спиновые матрицы Паули получаются из Sz и очевидных выражений SX = 1/2{S+-\-S~) и Sy = (S+ - S~)/2i, связывающих Sx, SycS+, S~ с помощью соотношения (47) и, таким образом, в явном виде 0 1 0 - 1 1 0 л 1 0 ох = 1 0 , о у - i 1 0 , Oz = 0 -1 и 1 = 0 1 (48) Собственные векторы Sz и az суть двухкомпонентные спиноры Х+ = и Х- = (49) соответствующие т= ±1/2. Обычно вводят также и ст±, которые определяются равенством а± = < Можно аналогичным образом построить четные матрицы высшей размерности 4 X 4, 6 X 6 и т. д., используя общие правила вычисления матричных элементов, которые дали нам выражения (40)-(43). Это позволяет представлять соответствующими матрицами большие спины: 3/2, Б/2 и т. д. Выписывать эти матрицы явно нет необходимости, в частности и потому, что они становятся слишком громоздкими при возрастании величины спина, а, кроме того, ниже мы найдем значительно более удобные представления для операторов. 7 Д. Маттис 98 з. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Часто бывает необходимо сложить составляющие моменты количества движения в полный оператор момента, а бывает и обратная необходимость - разложить и упростить операторы со сложной структурой. Рассмотрим коротко этот вопрос, не вдаваясь в подробности и даже опуская формальные доказательства. Даны два момента количества движения Jt и J2; интуитивно кажется, что J = J4 J2 будет разрешенным моментом, подчиняющимся правилам коммутации (6) и следующим. Но никакие другие линейные комбинации J4 и J2 не подойдут (см. задачу 1). Задача 1: Даны моменты количества движения Д и Jz. Показать, что аД+ -(- bJ2 есть сам по себе момент только, если а = Ь = 1, или а = 1, b = О, или а = О, Ъ = 1. Как выразить собственные функции Д и J2 с помощью собственных функций J, и наоборот? Предположим, что мы начинаем, зная полный набор собственных функций моментов количества движения J4 и J2 (в виде спиноров, сферических функций или каких-либо других функций), которые мы обозначим двумя наборами квантовых чисел: | ]\ту2т2). (50) Для фиксированных значений Д и /2 имеются (2Д + 1) (2/2 + 1) ортонормированных собственных функций этого типа, соответствующих различным выбранным значениям пн и т2. Каждая из них, следовательно, есть собственная функция J~ с собственным значением т = пг4 + пг2. (Нижними индексами обозначим индивидуальные моменты количества движения, а верхними - их компоненты; например /*.) Максимальное значение mt + т2 есть Д -|- /2; следовательно, именно максимальное значение т, которое по определению равно Д есть квантовое число J2 [вспомним уравнение (24) и выражения (25) и (26)]. Повторно применяя оператор J~ = J~ J~ к функции с максимальным значением т, получаем все 2 (Д + /2) + 1 ортогональных функций, принадлежащих тому же самому значению /, но с различными пг = Д -\ /2. Д + /г - 1. • ¦ ч - Д - /г- (Заметим, что / не изменяется, потому что J~ коммутирует с J2.) Только одна из этих функций имеет т = j 1 + /2 - 1, ибо, конечно, каждое значение т оказывается только один раз в этом перечне. Но этому значению /г отвечают две функции: | ДД - 1/гД) и | ДД/2/2 - 1). Функция, которая нас интересует, фактически есть сумма этих двух функций I hh - I/2/2) +1 Д/1/2/2 - 1), (51) потому что /"=/¦-]- Рассмотрим теперь разность между этими двумя функциями I /1/1 -1/2/2) - | /1/1/2/2 - 1). (52) СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 99 Эта функция ортогональна предыдущей; она принадлежит тому же самому значению т, и когда оператор /+ = /+-(- применяется к этой функции, то получается нулевой результат. Следовательно, соответствующее значение та максимально и (52) должна быть собственной функцией, принадлежащей / = Д + /2 - 1- Повторное применение оператора J~ к функции (52) дает 2(Д + /2 - 1) + 1 ортогональных функций, соответствующих всем возможным тп. Таким образом, два из трех состояний, принадлежащих m = /i + /2 - 2, объяснены, а третье теперь можно использовать для построения ряда
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
