|
Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.Скачать (прямая ссылка):  функций, принадлежащих / = Д + h ~ 2. Эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока не будут исчерпаны все (2Д + 1) (2/2 + 1) состояния. Это достигается при / = | Д - /2 |; эта величина, следовательно, есть минимальное значение суммарного момента количества движения точно так же, как Д + /2 - его максимальная величина. Доказательство этого так называемого "неравенства треугольника" дано в задаче 2 и, кроме того, ниже - с помощью операторного метода [см. неравенства (75) и (76)]. Задача 2. Доказав тождество h+h 2 (2/+1) = (2Д + 1) (2/2+1), 7=\h-l'2\ покажите, что описанная в тексте методика действительно использует все исходные функции. Построив полный набор собственных функций J2 и Jz из набора собственных функций и J\, можно в какой-то степени формализовать эту методику. Два набора ортонормированных функций связаны каноническим (унитарным) преобразованием, т. е. мы можем выразить новые волновые функции | jijzjm) через старые при помощи равенства: |/i/2/?n)= S l/i^i/^JO'imj/^l/i/z/m), (53) 7711, 7712 в которых матричные элементы оператора преобразования | /1/2М) (54) являются коэффициентами векторного сложения, или коэффициентами Клебша - Гордана. Частично симметризованная форма для этих коэффициентов впервые была выведена Вигнером с использованием методов теории групп, а позднее Рака и Швингеромх). х) Ссылки на работу Вигнера и другие работы, а также подробные формулы см. у Эдмондса [1]. 7* Таблица 3.2 Неисчезающие коэффициенты Клебша-Гордана для = V2 и 1 (й"Ч \тг 1 h 4",т) 1 т2 = Т 1 т2--2 ... 1 , = ,1+Т 1/ ;i+m+4- 1 1 , 1/ /1-т + -2- 1 1 2/1 + 1 ' 2/. + 1 . . 1 1=11-2 l/ А-т+Т , l/ /'+т+Т ' 2/1 + 1 1 К 2/1+1 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СПАРЕННЫХ БОЗОНОВ 101 (Далее в этой главе будет кратко описана предложенная Швинге-ром операторная методика расчета момента количества движения.) Мы приводим результат: (/i^ij2m21 iihjm) = v Г (2/4-1) (/i~f-/2 - /)! (/1 - /2+/)! (- /1+/2+/)! (/1+^1)! (ii - mi)! )! * L (/i + /2+/ + l)! X (/2 - m2)\ (j + m)\(j - m)\ j1/2x X 2 (-l)Mz! {h + h - j - z)! {h-mi - z)\(j2 + m2- z)\ X В табл. 3.2 даны значения коэффициентов Клебша - Гордана для /а = 1/2, 1, вычисленные с помощью этой формулы. В ядер-ной и атомной физике проще оперировать с симметризованной формой этих коэффициентов с использованием 3j-символов Вигнера. Однако нет смысла приводить их здесь и мы рекомендуем читателю обратиться к книге Эдмондса [1]. К вопросу о сложении моментов количества движения мы еще вернемся после изложения операторной методики. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СПАРЕППЫХ БОЗОНОВ В полуклассической теории магнетизма принято аппроксимировать громоздкие операторы спинов или их матрицы с помощью операторов гармонических осцилляторов, так как общая структура матриц спинов [см. (40)-(43)] во многих отношениях напоминает структуру матриц операторов гармонических осцилляторов. Отсутствие совпадения было доказано Швингером в его теории момента количества движения, основанной на исследовании связанных полей гармонических осцилляторов [5]. Хорошо известно, что для получения осцилляторных операторов "рождения" и "уничтожения" а* и а нужно взять линейные комбинации оператора импульса и оператора координаты, например: Поясним основания для такого выбора. Соотношения коммутации, которые могут быть выведены для операторов а, а*, это соотношения для бозонов X (/' - /г + mj+z)! (/ - ii шг -j- z)!]-1. (55) а' \d\, dj] - \(Х\ , dj ] - 0, [fl;, dj ] - $ijt (56) 102 3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ где г, / относится к различным частицам. Из (56) можно вывести [itj, CLj] = $ijCLj [iti, Я7] = ftijCLj, (^) для чего вводится пг = a*at - оператор числа занятых состоя- ний, описывающий степень возбуждения i-ro гармонического осциллятора. Можно построить полный набор состояний, пронумерованных по их собственным значениям, введя впервые понятие "вакуума". "Вакуум" - это основное состояние системы гармонических осцилляторов, состояние без частиц, обозначаемое |0). Волновая функция | 0) при действии на нее любого оператора уничтожения обращается в нуль: 10) = 0 для всех i. (58) Ясно, что одночастичные состояния есть а?|0), а двухчастичные (нормированные) состояния имеют вид <а*|0) или и т. д. Общая формула для многочастичного нормированного состояния, как доказано ниже в задаче 3, такова: <'Т)И1(1)--.|П? (59) "]! л2! ... В этих состояниях операторы чисел занятых состояний диаго-нальны и имеют положительные целочисленные собственные значения: nt = 0, 1, 2, . . . Общее число занятых состояний определяется суммой собственных значений 2".- Задача 3. Докажите, что состояние (59) нормировано. Вычислите (0 | . . . (a2)712(a))ni(a:j')ni(a5)712 . . . | 0), используя только определение вакуума (58) и соотношения коммутации (56) и (57). Покажите, что пг- собственное значение оператора п;. Швингер показал, что матричная структура для данного момента количества движения, подытоженная выражениями (40)- (43), может быть точно
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
