|
Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.Скачать (прямая ссылка):  Но эта тема выходит за рамки нашего элементарного рассмотрения. ДРУГИЕ РАССМОТРЕНИЯ Первое формальное оправдание теории спиновых волн Блоха можно найти в работе Холстейна и Примакова [6]. Блох, естественно, допустил, что спиновые волны подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна, но эти авторы показали, каким образом спиновые операторы могут быть выражены через бозе-операторы (см. также гл. 6). Представление Холстейна и Примакова лучше всего принимать за особый случай представления спаренных бозонов Швингера, т. е. как неприводимое представление в подпространстве с фиксированным Вспомним выражение (62), которое мы перепишем так: <a2 = /2j - Hi /2j - iii. (83) В подпространстве с фикспрованным собственным значением / это выражение можно рассматривать как произведение оператора а2 и сопряженного ему диагонального оператора: а2 = а*Н2/)1/2 j/l-(84) отсюда Л = Па* (2))1/2 |/1 -, J-=H (2/)1/2 1-^ а И JT-=--h(n-j), (85) опуская индекс (1) у а и п. Формализм был бы правилен, если бы п не превышало 2/, но в пределах разрешенной области можно проверить, что основные соотношения коммутации (12)-(16) удовлетворяются. [Представление квадратного корня в виде СПИН 1/2 109 рациональной функции рассматривается после уравнения (98), стр. 112.] Если все, что требуется, это удовлетворить соотношениям коммутации и если смягчить требование относительно того, чтобы J+ и J~ были эрмитово- сопряженными операторами, то можно выполнить так называемое преобразование подобия Малеева для нового набора операторов /+ = а*(2/)1/г (l - -gr) R, /" = (2/)1/г аЪ. и J* = (n-/) Й. (86) Явная выгода от уничтожения квадратного корня несколько уменьшается усложнениями из-за пользования неунитарными преобразованиями. Любая из формул (85) или (86) может быть преобразована без малейшей трудности с помощью вращения системы координат, так как оно сохраняет /. Неправильные вращения, например созданные гиперболическими операторами К, не разрешены, так как они будут приводить к состояниям, не имеющим физического смысла. Любое из этих представлений особенно полезно тогда, когда j очень велико. В связи с этим "квазиклассическим пределом" полезно привести результат Эдмондса [1] - асимптотическую формулу для сферической функции при предельно больших I. Он получил ее с помощью решения уравнения (23) методом ВКБ; она имеет следующий вид: У/т(0, Ф) AeimV e±(i/e)fdti^i")/(i-t") дЛя / " 1, (87) (flSJ - х2) ' ^ где А = const, а2 = 1 - f 1) ' ? = -. и ? = cos0. >/(г + 1) Это выражение можно использовать для исследования квази-классического предела. Другой предельно "квантовый" случай j =х/2" 1 заслуживает отдельного исследования и будет рассматриваться в следующем разделе. СПИН 1/2 Для спина Vz в предыдущих выражениях надо положить га=0, 1; представления Холстейна - Примакова и Малеева идентичны в границах физически разрешенного подпространства. Задачи для систем N взаимодействующих спинов V2 могут быть легче сформулированы с помощью одного из фермиевских 110 з. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ представлений. Это отодвигает нас почти на 40 лет назад, к исторической статье Иордана и Вигнера по вторичному квантованию [7], в которой антикоммутирующие ферми-операторы были явным образом построены из спиновых матриц Паули. Сейчас представляет интерес как раз обратный процесс. Ферми-операторы, которые мы обозначим буквой с, представляют собой систему антикдммутирующих операторов; например, для любого состояния | Ф): С^|Ф) = -С*сГ|Ф) и, следовательно, необходимо обратить внимание на порядок, в котором записаны операторы. Вакуум определяется точно так же, как и для спинов: действие любого оператора уничтожения на волновую функцию вакуума должно давать нуль Ci|0) = 0, п, | 0) = 0 (i = l N). (88) Это состояние, в котором операторы числа частиц Щ=С*С1 (89). все имеют нулевые собственные значения. Соотношения антикоммутации обозначаются фигурными скобками и имеют вид cicj + cjci = {cicj} = 0, {с?, с|} = 0, (с4, с)} = 6^. (90) Если в приведенных выше соотношениях положить i = то получим c? = (c?)2 = 0, cfc, + Cjcf = 1. (91) Эти результаты идентичны соотношениям для спиновых матриц Паули о±. Только то, что спиновые матрицы Паули, относящиеся к различным частицам (i Ф /), коммутируют друг с другом, и отличает их от антикоммутирующих ферми-операторов. Этому можно помочь, введя ряд, вообще говоря, бесполезных операторов di и d* (число которых равно первоначальному набору операторов с), антикоммутирующих с операторами с и друг с другом, аналогично соотношениям (90). Как следствие, получим {di^-d*)z = \ и {di -f d*, dj -f d*} = 0 при 1ф], (92) так что в конце концов ¦St =йе* (<*! + <*?), Si=n{di + d^)ci и = (с?с, -у) (93) есть искомый набор операторов спинов 1/2, которые коммутируют,. когда i Ф /'. СПИН Vi 111 Задача 7. Доказать, что различные введенные в этом разделе представления удовлетворяют соотношениям (12)- (16). а также, что операторы различных
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
