|
Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.Скачать (прямая ссылка):  антисимметризации приведет к тождественному нулю вместо построения желаемой функции. Например, если / имеет вид °/° и мы хотим построить функцию Mf при М Ф О, то вместо этого получим нуль (это то же самое, что пытаться произвести антисимметризацию симметричной функции). Для построения функций типа M/s из произвольной функции нет соответствующего простого правила. Необходимо исключить нежелательные компоненты, описывающие полный спин, не равный S, путем повторного применения операторов рождения и уничтожения спина iSnonm сначала построив Mf при М = ± S. Но в некоторых особых случаях это можно сделать прямой проверкой, как в следующем примере: Пример. Волновая функция в виде произведения, описывающая невзаимодействующие частицы, имеет, как мы видели, применение в вариационных приближениях. Используем такую пространственную функцию как основу для примера, в котором мы построим правильные пространственные функции, соответствующие собственным значениям М и S. Начиная с произведения <Pi ('¦i) Ф2 ('¦О ¦ ¦ • Флг ('¦л'). (39> можно непосредственно написать функцию лг/ в виде произведения двух детерминантов: qpi^i) qpi^i) • ¦ Ф1 (ri/o.V-f A/) Mf = Det Ф2 ('¦l) ф1/2.\-(-.М (rl) ¦ ¦ Ф1/2-^+М (rl/2Ar-f-M) Ф1/оЛ'+М-Щ (''l/n.V+M-l-l) ¦¦¦ Ф1/2ГС+М-(-1 (rw) X Det - (40 Фы(п/8.у+дг+1) ¦ ТЕОРЕМА ОБ ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ ДВУХ ЭЛЕКТРОНОВ 127 Функция / явно антисимметрична по двум наборам переменных. Теперь допустим что М 0. (Случай М > 0 можно получить простой перестановкой двух детерминантов.) Таким образом, первый детерминант меньше второго. Если все функции ф,, ф2, . . ., фу2,у+м-, которые содержатся в меньшем детерминанте, содержатся также и в большем, то, согласно правилам (32) и (33), метод антисимметризации, очевидно, дает нуль и, следовательно, функция (40) соответствует вполне определенному значению S S = \M\. (41) Конечно, предполагается, что не все функции ф^- различны. Когда все функции различны, построение функции с определенным значением 2Г возможно, но более трудоемко. К этому вопросу мы уже не будем более возвращаться. В каждом детерминанте все функции фдолжны быть различны, в противном случаем/обращается в нуль. Но они могут появляться в обоих детерминантах, что представляет собой лишь другое выражение вырождения Крамерса. Появление фj в первом детерминанте означает, что в орбитали ф;- спин электрона направлен вверх, а во втором детерминанте - вниз. Этим заканчивается демонстрация того, как может быть полностью антисимметризована волновая функция Паули, тогда как пространственные функции - собственные функции пространственного гамильтониана - могут иметь сложные перестановочные свойства. Мы показали также, что эти перестановочные свойства есть следствие правил, которым подчиняются полный спин и орбитальный момент. Теперь мы перейдем к рассмотрению особых случаев. ТЕОРЕМА ОБ ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ ДВУХ ЭЛЕКТРОНОВ!) Во многих случаях можно показать, что наименьшему собственному значению дифференциального уравнения соответствует решение без узлов 2). Возникает вопрос: можно ли доказать что-либо аналогичное в случае многоэлектронной задачи, и если да, то имеет ли это какое-нибудь отношение к ферромагнетизму? На оба эти вопроса можно дать положительный ответ. Исследуем сначала первый многоэлектронный атом периодической таблицы и найдем, что основное состояние гелия не содержит узлов. Отсюда можно вывести важные следствия. У тяжелых атомов как раз наоборот - основное состояние в согласии с правилами Хунда имеет определенное число узлов. Структура волновой функции проявляется в спине и моменте количества движения атома в основном состоянии. Мы обнаруживаем явное противоречие с теоремой, справедливой для двух частиц. Ниже мы еще :) См. работу [5]. 2) Узлом функции автор считает не обращение ее в нуль, а перемену знака (см. фиг. 4.1).- Прим. ред. 128 4- МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ вернемся к распространению теоремы на систему JV частиц и к ее очевидному нарушению в случае трех измерений. Рассмотрим сначала атомы гелия, незначительно обобщив задачу введением произвольного потенциала: ^='^г(р1 + Р2)-Ь^(г1. гп). (42) Принимается, что гамильтониан - вещественный оператор, инвариантный при перестановке двух (неразличимых) частиц. Собственные функции / (гь г2) уравнения Шредингера сШ(Гь г2) = Ej (rj, г2), (43) следовательно, вещественны и либо четные, либо нечетные при перестановке двух частиц. Поскольку эта задача очень проста, нет необходимости сопоставлять / с определенными значениями М и S: вспомним просто, что четное решение должно быть связано с нечетной спиновой функцией 1Х+ (SO X- (Sz) - Х+ (Sz) X- (Si)], (44) принадлежащей к 5п0Лн = 0, а нечетное решение - с одной из четных спиновых функций [X+(S0x+(Sz)J или (X- (Si) X- (Sz)] или fx+ (Si) X- (Sz) г X+ (Sz) X- (SOI. (45) принадлежащих 5П0ПН = 1, M = 1, -1 или 0. Тогда произве- дение есть настоящая волновая функция Паули. Мы используем вариационную
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
