|
Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.Скачать (прямая ссылка):  спектра для всех К, а для некоторых К возможны и два связанных состояния. В трехмерном случае установлено отсутствие каких-либо связанных состояний для малых К. Связанные состояния появляются только при достаточно больших значениях К. При этом их одно, два или максимум три. Это - наиболее важный результат, так как отсутствие связанных состояний в существенной области К дает некоторую уверенность в том, что линейная теория спиновых волн справедлива для случая трех измерений, хотя линеаризация не оправданна ни в одномерном, ни в двумерном случае. Прежде чем рассматривать область малых К, которая из-за низкорасположенных энергий спиновых волн и связанных состояний имеет большое значение в термодинамике, исследуем сначала особый случай, когда все компоненты К равны л/а - максимально возможному значению, при котором Кх ку Кг л п cos -а = cos -- а = cos а - cos -у- = U, и все интегралы в уравнении для собственных значений становятся тривиальными. Поскольку все знаменатели теперь постоянные, то все недиагональные матричные элементы Мх> у, определенные выражением (66), обращаются в нуль, тогда как все диагональные элементы равны друг другу. Следовательно, связанное состояние будет вырождено с кратностью, равной z/2. Заметим, что область непрерывного спектра стягивается к одной точке Уп = Уп (q) = E0 + 2g\iBH + 2sJz, (74) поэтому интегральное уравнение сводится к алгебраическому. Ясно, что энергия связанного состояния [решение (67)1 Е = yn - J. (75) Связанное состояние представляет собой комплекс из двух перевернутых спинов, являющихся ближайшими соседями; вырождение связано с тем, что существует z/2 различных направлении, по которым пара спинов может оказаться ближайшими соседями. 13 д. Маттис 194 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ Существование по крайней мере одного связанного состояния для каждого значения К в двумерном случае гарантировано поведением различных интегралов вблизи точки q = 0. Обозначим энергию наинизшего состояния из непрерывного спектра через ?мин, тогда интегрирование в окрестности точки q = 0 дает вклад порядка Р Числитель 7 с некоторой положительной константой/) и не равным нулю числителем. Этот вклад как функция Е колеблется от нуля до -оо по мере того, как Е изменяется от -оо до Етт и в пределе EKvm -Е s 8Е -> 0 ведет себя как " log бЕ. Таким образом, даже не прибегая к точному вычислению, можно показать, что "энергия связи" бЕ будет экспоненциально зависеть от различных параметров. Действительно, для Кх = Ку т 0 Вортис получил бe-zitsc/1-c где С = cos (KJ2) а, а для более общего значения К он вычислил энергию связи с помощью различных эллиптических интегралов. Возвращаясь к более реальному трехмерному случаю, для которого нельзя аналитически оценить интегралы, можно показать, что удобнее представить их, используя метод преобразования Лапласа. Так, заменив оо ±=\dte-" о и воспользовавшись определением функции Бесселя от мнимого аргумента (см. гл. 8) Л /n(z)=-i- ^ ezcosx cos nxdx, a можно вместо трехмерных интегралов написать быстросходящиеся одномерные. Но для определения порога существования связанных состояний эти подстановки не требуются. Для этого можно положить Кх = К у - К г, что соответствует наинизшей границе непрерывной области и, более вероятно, что именно в этом, а не в менее симметричном направлении возникнет связанное состояние. В этом случае все три диагональные матричные элементы М;,; равны, а недиагональные элементы также равны друг другу. Расписывая детерминант, получаем уравнение для собственных значений (1 ~МХ,Х- 2Мх, и) (1 ~МХ,Х + Мх, у)* = 0. (76) СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ДВУМЕРНЫЙ И ТРЕХМЕРНЫЙ СЛУЧАИ 195 Решение, отвечающее наинизшему собственному значению, является простым корнем, т. е. корнем уравнения 1 - Мх, х + 2MXf у = 2j -г-, cos qxa [3 cos (Кх/2) а - cos qxa - 2 cos qya] = N 2-1 = q Е0 - Е0 - 2g[iBH - 12s7+4s7 [cos ?жа+сов 7Ha-fcos9za]cos (KXI2) а _ E - E0 - 2g\iBH-i2sJ sin*(Kx/2)a ~ 2As*J cos2 (KXJ2) a v Г -I ? -Др-2gp.Bff - 12s7 ^ 1 1 /77% *L N 2l E-YK(4) J ' ( ' ч Чтобы прийти к последнему упрощенному выражению, мы воспользовались только кубической симметрией и равенством трех компонент вектора К. Порог, за которым появляются связанные состояния, оказывается при таких К, при которых Е опускается ниже Yt (0) - границы области непрерывного спектра. Это наблюдается при Е = Е0 -f- 2g\iBH -f 24s/ sin2 а = = Е0 + 2 giiBH + 24s2/ (2s -f 0.516386)-1. (78) Второй строчкой мы предвосхитили формулу (80). Заменяя в (77) обычным образом сумму интегралом, мы используем первую строчку, чтобы определить значение порога Кх 1= ГГ1 + с2^/2)а (1 _w) (79) 2s cos (-?*/2) a ' v 9 где W - интеграл Ватсона (см. Замечание в конце раздела): VF = ^V\\ \ -------------;------dq_xdqydqz------------- = 1,516386. - у (cos qx -j- cos qy -(- cos qz) Итак, объединяя этот результат с результатом (75), мы видим, что связанные состояния существуют в интервале
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
