|
Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.Скачать (прямая ссылка):  = J (к) - следствие существования в кристалле центра инверсии. Таким образом, приведенные соотношения имеют более общее происхождение, чем указано в тексте.- Прим. ред. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН 207 Имеется небольшая неточность, допущенная в членах, для которых к = к'; правильный член четвертого порядка есть (а*)2 (аА)2, а не (п*)2. Это может быть учтено путем изменения Ш на величину порядка 1 IN. Однако такой поправкой можно полностью пренебречь, и мы больше не будем к этому возвращаться. Изучение S6d проводится с помощью незначительного обобщения теории "линеаризованного" гамильтониана. Важен только следующий вопрос. Если имеется состояние, в котором щ магнонов с волновым вектором к4, пг магнонов с волновым вектором к2 и т. д., то сколько требуется энергии, чтобы добавить один магнон с волновым вектором к в это состояние? Пусть W (nk) и W (nk +1) суть собственные значения гамильтониана в состояниях | nh) и at | nh)\ тогда Чца* | nh) = atSSD | nh) -f [$6D, aA] | nh) = = W Ы at | nk) + 12sJ (0) - 2sJ (k) + giiBH- ~W 2 ^ (0) +/ (k-k') -/ (k)-Z (k')] -nk.} at I nk) = k' = W {nh + \)at\nh) (118) и, следовательно, W (nA + l) = lV(HA) + [2s/ (0)-2s/ (к)+?ЦяЯ] - -^2 [/(0)+/(к-к') -4k)-rflOUk'. (119) k' Если ввести энергию магнонов Йю(к), определенную, скажем, выражением (14), последнее равенство приобретает вид W (nk +1) - W (л*) =1.(0 (к) - - ^ ^ 1^ (к) + ^ (к') - Sb (к - к') - ^ (°)] Пк- s е (к), (120) к' где сумма - это поправки к линейной теории спиновых волн. Важно отметить, что спиновые волны с к' = 0 не вносят вклада в эту поправку, что подтверждает инвариантность этой теории относительно вращений. Нелинейные магнонные энергии обозначаются через е (к). Заметим, что при взаимодействии ближайших соседей e(k)<#ico(k) (чертой обозначено усреднение по направлениям к). Таким образом, увеличение чисел заполнения щ уменьшает энергию всех 208 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ магнонов, как мы увидим далее, когда речь пойдет о тепловых эффектах. Однако приведенное соотношение не сохраняется в случае произвольного взаимодействия с большим радиусом действия и обратно в случае ферримагнетиков с взаимодействием ближайших соседей, так что, по- видимому, это особое свойство, связанное только с постулатами настоящей теории. Имеется также приближенный принцип суперпозиции: энергия, требуемая для добавления двух магнонов с волновыми векторами к и к' в данное состояние, равна сумме энергий, требуемых для каждого е (к) -j- е (к') с точностью до поправочного члена порядка UN, возникающего вследствие взаимодействия. Доказательство дано в виде задачи 2. Задача 2. W К+ 1, nh, -f 1) = W (л*+ 1, nk. ) + W (nh, nh. -f 1) -- W (nh, nk.) + w. Найдите поправочный член w, проверьте, что поправочный член - порядка 1/TV. ПОПРАВКИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ До сих пор мы не обращали внимания на недиагональные члены Ш' = Ш -Шо- Теперь же попытаемся оценить эффект с помощью теории возмущений. В принципе теория возмущений дает систематический способ диагонализации гамильтониана, если ее провести во всех порядках. Если это выполнено, можно отделить правильные собственные состояния от неправильных с помощью способа, использующего оператор (112). На практике ряды теории возмущений могут не сходиться, и мы проведем рассмотрение с точностью до членов второго порядка (по причинам, которые будут ясны ниже) *). Рассмотрим преобразование подобия, порожденное оператором Т: On -> е~т Оп е+т. Это - унитарное преобразование, если (и только в этом случае) Т* = - Т, т. е. если Т = i X Эрмитов оператор. Такое унитарное преобразование не может диагонализовать гамильтониан, который в своей настоящей форме неэрмитов, но который, если его диагонализовать, будет явным образом вещественным и диагональным, следовательно, эрмитовым. Диагонализация возможна только, если не накладывать ограничение на Т. Ограничиваясь члена- J) Даже в тех случаях, когда ряды теории возмущений сходятся, не всегда удобно производить полную диагонализацию. Может оказаться, что возникающие прп этом состояния теряют свою наглядность и мало пригодны для изучения кинетических и других физических свойств макроскопической системы. С другой стороны, реальные изменения энергии квазичастиц, обусловленные малым взаимодействием, малы.- Прим. ред. ПОПРАВКИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 209 ми наинизшего порядка по взаимодействию, воспользуемся разложением и выберем Т так, чтобы исключить из гамильтониана. Из того, что останется, мы должны сохранить только диагональные члены наименьшего порядка. Тогда ж -"(1 -т +-?) mD (1 + т++ (1 - т) m' (1+т)" " Шт> -г ([сШп, Л + Ш') - ТШт>Т + j + ШвТг) - определяет преобразованный гамильтониан с желаемой точностью [ср. соотношение (122) с (126), где приведены матричные элементы оператора Т\. Квантовые числа собственных состояний SBd представляют собой набор чисел заполнения, и пусть а, Ь, . . . обозначают каждый набор. Для новых
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
