|
Теория магнетизма. Введение в изучение кооперативных явлений - Маттис Д.Скачать (прямая ссылка):  спектра. Оно соответствует комплексным гр, к и к\ Поскольку в антиферромагнетиках связанное состояние расположено выше области непрерывного спектра, оно не может иметь ничего общего с задачей определения основного состояния, и мы попросту будем его игнорировать, а сконцентрируем свое внимание на спектре с вещественными к, к' и гр. Вычисления с двумя спинами легко обобщаются. Пусть ненормированная функция п частиц имеет вид Л Л г(М-И(2:+- ¦ .-Ипл+l/* ^ ^k,kt) fij...mn = e r<t + Вес перестановки. (149) 218 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ Иначе говоря, состояние сконструировано из произведений плоских волн, и взята сумма таких произведений по всем перестановкам гг векторов к. Фазовые сдвиги антисимметричны по индексам к, к', и легко показать, что они подчиняются уравнениям 2 ctg у фАА> = ctg у к - ctgy/e' (150) И п л (2р)т 2 /с- дГ , Р = 0,±1, ... (151) В этом уравнении, как и в следующем, суммирование ведется по всем волновым векторам к', вошедшим в выражение (149). Энергия, отсчитанная от 7V/4, т. е. от энергии ферромагнитного состояния, имеет вид П E-Et= -J (l-cosi-'). (152) i Заметим, что если мы передвинем всю цепочку на один шаг, т. е. произведем замену i, /, i + 1, / -j- 1, то волновая функция (149) умножается на фазовый множитель 71 П i 2 * Я1 2 2 p/N е 1 =е 1 . (153) Показатель экспоненты определяет полный импульс состояния, который снова не зависит от фазовых сдвигов Это важно, так как сами по себе фазовые сдвиги теперь довольно велики. Каждый сдвиг фАА' порядка единицы; они дают вклад в каждый волновой вектор к, и полный сдвиг в к - порядка n/N, т. е. существенная доля к. В задаче о двух частицах уравнения (150) и (151) не имеют решений типа бегущей волны для к - к' " 0. Этот случай приводит к комплексным значениям, т. е. к связанному состоянию. Аналогично в состоянии со многими частицами можно выбрать интервал между векторами к так, что значение р = 0 будет отсутствовать и для всех р и р' \Р~Р' |> 1- (154) Подобный выбор дает уверенность в том, что имеются только вещественные решения. Для N12 частиц (N - четное число) набор {р}, согласующийся с приведенными выше ограничениями, таков: (р} = 1, 3, ...,А-1. (155) ОДНОМЕРНОЕ РЕШЕНИЕ БЕТЕ 219 Заметим, что в рассматриваемом случае "взаимодействие" SiS\.м приводит к тому, что распределяет целые числа р (ограниченные интервалом N14 <. Р <. ЗЛ74 в основном состоянии модели XY) так, что они покрывают всю область фазового пространства. Введя постоянную решетки и переходя к пределу N -"- °° можно заменить суммы интегралами. Таким образом, Е-Ef=-4^- ^ [1 - cos к (х)] dx ¦--N ^ sin2 -к ^ dx, (156) Умножая обе стороны уравнения на / (|) и используя тождество *) Функция ф (ху) при х - у имеет разрыв, равный 2л, так что при дифференцировании следует быть внимательным при установлении пределов интегрирования; надо иметь в виду, что 0 и z <J1, и дифференци- ровать, временно считая пределы переменными и, таким образом, аккуратно "обойти" указанную особенность функции ф (ху). 1 о о где (157) И о Из (158) исключим фазовый сдвиг 1 к (х) = 2лх + J arcctg |c-g [к ^j dy (15д) О Продифференцируем1) (159) по х оо -со и введем следующие обозначения; (161) f(t.dk(x) +2 1 dx 1 + S2' получаем ОО (162) оо - 220 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ Уравнение этого типа решается точно, так как ядро - функция разности (? - т]). Можно произвести фурье-преобразование и решить уравнение для F^, определив оо со Fk= J dQf (0) е11,э и /(0)= J ~Fhe~^. (163) - ОО -со Получим простую формулу Fk = (2chk)~K (164) Энергия основного состояния имеет вид ОС оо оо _ e-e, = -n I "т^ = -лг $ ^ 5 dt{^ = - ОО -ОО -ОО (* Г dke'2\k\ = -N \ dkFhe~\h\=~2N\ _9|. , = - ДПп2. (165) J и 1 + е л ' ' О О Результат этот знаменит, так как это одно из очень ограниченного числа известных точных решений нетривиальной задачи многих тел. Де Клуазо и Пирсон [24] распространили этот метод для получения энергии наинизших возбужденных состояний, которые, как оказалось, являются триплетными состояниями. Они выбрали (N/2) - 1 значения к для получения собственных состояний с наименьшей энергией, принадлежащих конечному полному импульсу, равному 2^- Эта методика, однако, очень тонкая и до некоторой степени переусложненная, чтобы приводить ее здесь или объяснять. Есть один вопрос, на который нет ответа,- имеются ли среди низколежащих возбуждений связанные состояния? Если это так, то с помощью формализма Бете - Хультена их объяснить нельзя, ибо справедливость различных приведенных выше уравнений, по-видимому, основана на том, что к - вещественные числа. Однако вполне возможно, что дальнейшее математическое изучение выражения (149) и следующих за ним может позволить распространить известные результаты на комплексную ^-плоскость, и тогда можно будет произвести полную классификацию. Так, следуя Орбаху, можно рассматривать спаренные члены S\Si+1 с переменным параметром g и
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
