Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 11

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 63 >> Следующая

систему координат (относительную систему координат, жестко связанную с
твердым телом) и неподвижную систему координат, причем начала обеих
систем координат совпадают с точкой О. Векторы, отнесенные к подвижной
системе координат, будут обозначаться заглавными буквами, а
соответствующие строчные буквы будут использоваться для тех же векторов,
отнесенных к неподвижной системе координат. Пусть R(t) - вращение,
которое описывает положение подвижной системы координат относительно
неподвижной в момент времени t. Тогда мы имеем, например, уравнение
q(t) = R(t)Q (1)
1 Странно, что в книге Арнольда [9] вращающийся волчок обсуждается не с
"гамильтоновых" позиций.
Твердое тело с неподвижной точкой 31
для описания движения некоторой точки Q в твердом теле, а также
уравнение
T(t) = R(t)-17 = tR(th (2)
для описания изменения постоянного вектора у в подвижной системе
координат.
Продифференцируем соотношение (1) по времени t:
Q =
RQ = (шГ1) q.
Поскольку R Е 50(3), то RR 1 является кососимметричной матрицей.
Воспользуемся изоморфизмом
(3)
который переводит действие матрицы в векторное произведение:
А • х = <р(А) х х.
Кососимметричной матрице RR~X соответствует вектор угловой скорости
Lu(t), так что
q = оо х q.
Продифференцируем уравнение (2) и воспользуемся косой симметрией: Г = lRy
= гШТ = -tRRT.
Вновь используя косую симметрию, получаем
Г = -*R (й*RjJ = -lR {из х 7) = (*Д7) х (lRu) ,
т. е.
Г = Г х П.
32
Глава I
Таким образом, получаем три уравнения Эйлера. Напомним, что это не более
чем формулировка - в подвижной системе координат - того факта, что
гравитационное поле j постоянно.
Другие три уравнения получаются, если рассмотреть полный кинетический
момент. Пусть q - точка массы /х. Его кинетический момент равен т = p,q х
q = fiq х (о; х q). Отображение X \Q х (X х Q) симметрично.
Действительно,
(Qx(IxQ))-F = det (Q,X х Q,Y)
= det (F,<?,X x Q)
= (Y xQ)-(XxQ).
Усредняя по всем точкам твердого тела, находим, что полный кинетический
момент М выражается формулой
М = J(fi),
где J - матрица оператора инерции. Как показывают предыдущие вычисления,
этот оператор положительно определен и симметричен и является постоянным
по определению. Грубо говоря, он описывает распределение масс в твердом
теле. Мы будем исследовать, например, случай, когда твердое тело имеет
ось вращения (проходящую через неподвижную точку), "симметричный" волчок
Лагранжа: это геометрическое свойство проявляется в том, что J имеет
двукратное собственное значение, соответствующее плоскости, ортогональной
оси вращения (см. 2.1).
Замечание. Обозначим (неотрицательные) собственные значения оператора J
через Ai, А2 и A3. В качестве простого упражнения (см., например, книгу
Арнольда [9]), пользуясь неотрицательностью распределения масс, покажите,
что собственные значения удовлетворяют неравенству треугольника в
евклидовой плоскости (Ai ^ А2 + A3 и т. д.), причем равенство достигается
тогда и только тогда, когда тело плоское.
Вернемся к кинетическому моменту М: производная ш = RM равна сумме п
моментов сил, действующих на тело, относительно точки О:
и - RN = RM = RM + RM = B(fixM) + RM.
Твердое тело с неподвижной точкой
33
Следовательно, N = Г2 х М + М. Пусть G - центр масс тела, a L -
постоянный вектор OG. Поскольку на тело действует только сила тяжести, то
N = Г х L, так что мы окончательно получаем следующую систему
дифференциальных уравнений, которую иногда называют уравнениями Эйлера-
Пуассона2:
( f-M,
[М = [М,П] + [Г ,?].
Здесь мы заменили векторные произведения коммутаторами кососимметричных
матриц (поскольку отображение ф из (3) является изоморфизмом алгебр Ли).
1.2. (Ко)присоединеные орбиты и первые интегралы
Полная энергия системы равна
Н = М-П + Г-L.
кинетическая потенциальная
Проверим, что (Е) является гамильтоновой системой, ассоциированной с Н.
Чтобы придать этому утверждению точный смысл, нам необходимы некоторые
дополнительные построения. Система (Е) является дифференциальным
уравнением пары (Г, М) в пространстве R3 х R3 (напомним, что L постоянно,
а М - J(fi)). Даже не зная механики, можно догадаться, что это векторное
пространство следует представить в виде
R3 х R3 *so{S)[e]/e2 = 0.
Тогда уравнение (Е) примет вид
Т + еМ = [Г + <гМ, П + eL]. (Ег)
Таким образом, g является алгеброй Ли группы Ли, которая представляет
собой касательное расслоение к 50(3). По-другому эту группу
2Как уже отмечалось, первые три уравнения называются уравнениями Эйлера.
Тем не менее, система (Е) в полном виде содержится в книге Лагранжа [56].
34 Глава I
можно описать как группу движений пространства R3. В любом случае, эта
группа является полупрямым произведением $0(3)xR3, которое порождается
стандартным действием группы $0(3) на R3. Присоединенное действие3 $0(3)
на so(3) определяется через сопряжение
Adg ¦ X = gXg~\
если рассматривать X ? so(3) как кососимметричную матрицу, или через
вращение
Ads-X = g{X),
если мы считаем X ? R3 вектором (здесь мы использовали изоморфизм (р).
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама