Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 13

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 63 >> Следующая

предыдущих, поскольку система является интегрируемой только на одной
орбите, а именно на орбите Оо- Другими словами, она не интегрируема как
система на всем пуассоновом многообразии, а только на одном
симплектическом листе. В этом случае
J ( 4 т 0 0
J = 0 4 т 0
1 1 0 0 т
в некотором базисе, первый вектор которого коллинеарен L. В тех же
обозначениях для координат М, S1, Г и L, что и в случае Ковалевской,
дополнительный первый интеграл принимает вид
К - w (и2 + г;2) + 2"7з.
Здесь снова непосредственное вычисление дает
/ 2uw + 273 \
Vr+eM^ = I 2mu J 4- 2s
\ и2 -\- v2 )
откуда
{Н,К}{Г + еМ) =cv.
Таким образом, система является интегрируемой на орбите Оо.
Замечание. Мы уже отмечали, что полная энергия Н представляет собой
собственное отображение Ос -> R, так что во всех этих случаях все
совместные поверхности уровня первых интегралов компактны, а значит,
состоят из лиувиллевых торов.
2.2. Комментарии
Читателю может показаться удивительным, каким образом оказалось возможным
найти именно эти случаи интегрируемости и ничего
6Ссылки на оригинальные работы Горячева и Чаплыгина можно найти в книге
Голубева [35].
Твердое тело с неподвижной точкой
39
больше. Это очень интересная проблема. Метод, которым воспользовалась
Ковалевская, заключается в следующем. Она исследовала, когда (при каких
условиях на J и L) особенности решений системы (Е) являются достаточно
простыми. Более точно, поскольку система (Е) нелинейна, то ее решения
могут иметь достаточно сложные особенности; в простейших случаях решения
являются мероморфными функциями времени. Во времена Ковалевской уже были
известны решения для случаев Эйлера-Пуансо и Лагранжа. Она заметила, что
эти решения являются мероморфными и попыталась найти все возможные
значения тензора инерции, при которых решения имеют такой же характер.
Кроме известных случаев, Ковалевская нашла еще один случай, который
теперь носит ее имя. Она также указала дополнительный интеграл К и
выписала решения.
Замечание.
1) Мы уже по крайней мере дважды отмечали, что полная энергия является
собственной функцией, так что потоки не уходят на бесконечность. Для того
чтобы решения были мероморфными функциями (или еще хуже), необходимо по
крайней мере считать время комплексной переменной. Поэтому эта теория не
была развита до конца XIX столетия, и именно поэтому она была создана
математиком из школы Вейерштрасса.
2) Существует большое количество современных исследований по проблемам,
возникшим в связи с этой процедурой. Например, почему дифференциальные
уравнения, решения которых имеют не слишком сложные особенности, обладают
достаточным количеством первых интегралов? Это до сих пор кажется
загадочным.
3) Так называемый "анализ Пенлеве" (или, более точно, "анализ
Ковалевской-Пенлеве") тесно связан с рассматриваемой проблемой и активно
развивается в настоящее время. В рамках этой теории полюса (мероморфных)
решений используются для изучения геометрии поверхностей уровня
(соответствующие ссылки будут даны в Главах IV и V).
Несколько слов относительно полноты приведенного списка примеров: можно
показать, что если система (Е) обладает дополнительным
40
Глава I
полиномиальным (соответственно, мероморфным) интегралом, то мы получаем
один из указанных выше случаев. Этот результат принадлежит Гюссону [44]
(соответственно, Зиглину [89]).
3. Трехмерное свободное твердое тело и случай Эйлера-Пуансо
3.1. Свободное твердое тело
В случае, когда неподвижная точка совпадает с центром масс (случай
Эйлера-Пуансо), дифференциальная система (Е) принимает вид
' М = [М, п\,
< Г = [Г,П],
, М = J(fi),
так как L - 0. Конечно, основная задача состоит в том, чтобы решить
первое уравнение (после этого можно решать второе). Мы, таким образом,
должны рассмотреть систему
I М = [М, П],
\м = J(H),
которая описывает движение свободного твердого тела (на тело не действуют
никакие силы, и даже сила тяжести) вокруг одной из его точек. Несомненно,
удобно начинать именно с этого примера, поскольку эта задача имеет малую
размерность: М Е so(3), где орбиты представляют собой сферы с центром в
точке 0; любая гамильтонова система на такой поверхности является
интегрируемой.
Указанный первый интеграл К = ^||М||2 для всей системы становится
"тривиальным" интегралом, который описывает орбиты (сферы) Ор2 = {М Е R3
| и2 + v2 + w2 = 2р2} .
Эти орбиты суть симплектические многообразия, на которых мы будем изучать
поверхности уровня гамильтониана (кинетической энергии)
Н = ^ (Aiи2 + X2V2 + X3W2) .
Твердое тело с неподвижной точкой 41
Рис. 1. Регулярные линии уровня для свободного твердого тела
Здесь Ai, А2 и Аз - неотрицательные вещественные числа (обратные к
собственным значениям оператора J). Мы будем предполагать, что они
различны и что, скажем, Ai < А2 < А3. Тогда поверхности уровня Н являются
эллипсоидами общего вида (т. е. не имеющими оси вращения). Изучим их
пересечения со сферами 0^2. Это пересечение условно изображено на рис. 1.
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама