|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  Регулярные линии уровня состоят из двух несвязных овалов. Критические уровни состоят либо из двух точек, либо из двух овалов, пересекающихся в двух точках. Заштрихованные области соответствуют пустым уровням, а полупрямые - критическим значениям. 3.2. Алгебраическая модель Все связные компоненты регулярного уровня с топологической точки зрения представляют собой окружности. Чтобы сделать такой вывод в этой размерности, теорема Арнольда-Лиувилля не нужна. Так как линии уровня отождествляются с окружностями, то утверждение о линейности гамильтонова векторного поля Хн становится более или менее тавтологичным. Однако мы хотим понять аффинную структуру линий уровня. У нас уже имеется алгебраическая структура, которая позволяет дать элегантное описание всей ситуации. Наша линия уровня представляет собой пересечение сферы и эллипсоида, т. е. двух вещественных аффинных квадрик. Ничто не мешает нам рассматривать их с комп- 42 Глава I лекеной и проективной точек зрения. Уравнения сферы и эллипсоида запишутся в виде Г и2 4- v2 4- w2 - 2p2t2 = О, \ Ai и2 A2V2 + A3 w2 - 2Ы2 - 0. Обозначим их пересечение через V. Согласно классическому результату алгебраической геометрии, такое пересечение квадрик является эллиптической кривой. Предложение 3.2.1. Если Ai,A2 и Аз попарно различны, а также отличны от h/р2, то пересечение V является гладкой кривой рода 1 в Р3(С). Эта кривая представляет собой двулистное накрытие над Р1 (С), разветвленное в точках Ai? А2, A3 и h/p2. Замечание. Это наиболее общее расположение двух гладких трансвер-сальных квадратичных поверхностей (по крайней мере, над С). Доказательство. Условие, наложенное на коэффициенты, обеспечивает трансверсальность двух квадратичных поверхностей. Таким образом, их пересечение V является гладкой комплексной кривой. Рассмотрим теперь линейное семейство (пучок) ?, которое состоит из всех квадрик Cz: Cz : Qz(u,v,w,t) = = (Ai - z) и2 + (A2 - z) v2 4- (A3 - z) w2 - 2 (ji - zp2) t2 = 0, где z E P1 = С U 00 , так что Со соответствует нашему эллипсоиду, а Соо - сфере радиуса ру/2. Заметим, что особые квадрики пучка ? соответствуют значениям z - Ai, А2, A3 или h/p2. Зафиксируем точку А Е V. Опишем отображение : V -У ?. Каждая точка М Е V определяет прямую AM (касательную к V в точке А, если М = А). Эта прямая принадлежит одной (и только одной) квадрике Cz. Действительно, если ipz - симметричная билинейная форма, ассоциированная с Qz (его полярная форма), то Qz [(1 - а) А + аМ] = 0 Va О <pz(Ai М) = 0. Это линейное уравнение по переменной z, которое имеет единственное решение такое что АМ С Cz. Твердое тело с неподвижной точкой 43 Рис. 2 Отображение Ф^ голоморфно, и мы покажем, что оно является двулистным накрытием над Р1, как утверждается в предложении. Выберем произвольную точку z ? Р1 и рассмотрим ее прообраз Ф^1(^). Он состоит из всех прямых в Cz, которые содержат точку Л, т. е. является пересечением TaCz C\Qz. Получаем, что этот прообраз представляет собой две прямые. Теперь рассмотрим пересечение пучка С с плоскостью TaCz. Очевидно, мы получаем пучок конических кривых. Наши две прямые образуют особую конику этого пучка, поэтому они должны пересекать все коники пучка. Следовательно, мы получаем две точки М, N е У, образом которых является z (см. рис. 2). Если две прямые не совпадают, т. е. если пересечение TaCz П Qz не является двойной прямой, то эти две точки будут различными. В противном случае, Cz будет особой, что эквивалентно условию z = Ai, Л2, Аз или h/p2. Таким образом, мы имеем двулистное накрытие, разветвленное в четырех точках, причем V является кривой рода 1. ¦ Замечание (относительно вещественной части). Предположим, что точка А, которая используется для определения накрывающего отображения Ф^, является вещественной точкой (имеет вещественные координаты). Тогда Ф^ - вещественное отображение, переводящее вещественную часть Уц многообразия V в P1(R). Образ представляет собой множество всех вещественных значений z, для которых Cz содержит вещественную прямую, проходящую через А. Вещественная квадратичная поверхность Cz может содержать вещественную прямую 44 Глава I только тогда, когда она является однополостным гиперболоидом, т. е. если сигнатура квадратичной формы Qz равна (2,2), или если сигнатура формы Ai - z 2, А2 - z 2, A3 - z 2 Н- -v Н- -rw h - zp2 h - zp2 h - zp2 равна (2,1). Если мы расположим четыре точки {Ai, А2, A3, /i/р2} в порядке возрастания Ai <Ъ < с < Аз, то условие принимает вид z Е [Ai, Ь] U [с, А3]. Заметим, что мы использовали вещественную точку А многообразия V, а значит, должны были предполагать, что вещественная часть Vr не пуста и, следовательно, h/p2 Е [Ai, A3] (поэтому Ai наименьшее, а А3 наибольшее число среди указанных четырех чисел). Тогда Vr, как мы уже отмечали, состоит из двух связных компонент. 3.3. Линеаризация решений Запишем дифференциальное уравнение М = [М, П] покомпонентно: " й = (А3 - А2) vw,
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
