Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 14

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 63 >> Следующая

Регулярные линии уровня состоят из двух несвязных овалов. Критические
уровни состоят либо из двух точек, либо из двух овалов, пересекающихся в
двух точках. Заштрихованные области соответствуют пустым уровням, а
полупрямые - критическим значениям.
3.2. Алгебраическая модель
Все связные компоненты регулярного уровня с топологической точки зрения
представляют собой окружности. Чтобы сделать такой вывод в этой
размерности, теорема Арнольда-Лиувилля не нужна. Так как линии уровня
отождествляются с окружностями, то утверждение о линейности гамильтонова
векторного поля Хн становится более или менее тавтологичным. Однако мы
хотим понять аффинную структуру линий уровня.
У нас уже имеется алгебраическая структура, которая позволяет дать
элегантное описание всей ситуации. Наша линия уровня представляет собой
пересечение сферы и эллипсоида, т. е. двух вещественных аффинных квадрик.
Ничто не мешает нам рассматривать их с комп-
42
Глава I
лекеной и проективной точек зрения. Уравнения сферы и эллипсоида
запишутся в виде
Г и2 4- v2 4- w2 - 2p2t2 = О,
\ Ai и2 A2V2 + A3 w2 - 2Ы2 - 0.
Обозначим их пересечение через V. Согласно классическому результату
алгебраической геометрии, такое пересечение квадрик является
эллиптической кривой.
Предложение 3.2.1. Если Ai,A2 и Аз попарно различны, а также отличны от
h/р2, то пересечение V является гладкой кривой рода 1 в Р3(С). Эта кривая
представляет собой двулистное накрытие над Р1 (С), разветвленное в точках
Ai? А2, A3 и h/p2.
Замечание. Это наиболее общее расположение двух гладких трансвер-сальных
квадратичных поверхностей (по крайней мере, над С).
Доказательство.
Условие, наложенное на коэффициенты, обеспечивает трансверсальность двух
квадратичных поверхностей. Таким образом, их пересечение V является
гладкой комплексной кривой. Рассмотрим теперь линейное семейство (пучок)
?, которое состоит из всех квадрик Cz:
Cz : Qz(u,v,w,t) =
= (Ai - z) и2 + (A2 - z) v2 4- (A3 - z) w2 - 2 (ji - zp2) t2 = 0,
где z E P1 = С U 00 , так что Со соответствует нашему эллипсоиду, а Соо -
сфере радиуса ру/2. Заметим, что особые квадрики пучка ? соответствуют
значениям z - Ai, А2, A3 или h/p2.
Зафиксируем точку А Е V. Опишем отображение : V -У ?. Каждая точка М Е V
определяет прямую AM (касательную к V в точке А, если М = А). Эта прямая
принадлежит одной (и только одной) квадрике Cz. Действительно, если ipz -
симметричная билинейная форма, ассоциированная с Qz (его полярная форма),
то
Qz [(1 - а) А + аМ] = 0 Va О <pz(Ai М) = 0.
Это линейное уравнение по переменной z, которое имеет единственное
решение такое что АМ С Cz.
Твердое тело с неподвижной точкой
43
Рис. 2
Отображение Ф^ голоморфно, и мы покажем, что оно является двулистным
накрытием над Р1, как утверждается в предложении. Выберем произвольную
точку z ? Р1 и рассмотрим ее прообраз Ф^1(^). Он состоит из всех прямых в
Cz, которые содержат точку Л, т. е. является пересечением TaCz C\Qz.
Получаем, что этот прообраз представляет собой две прямые. Теперь
рассмотрим пересечение пучка С с плоскостью TaCz. Очевидно, мы получаем
пучок конических кривых. Наши две прямые образуют особую конику этого
пучка, поэтому они должны пересекать все коники пучка. Следовательно, мы
получаем две точки М, N е У, образом которых является z (см. рис. 2).
Если две прямые не совпадают, т. е. если пересечение TaCz П Qz не
является двойной прямой, то эти две точки будут различными. В противном
случае, Cz будет особой, что эквивалентно условию z = Ai, Л2, Аз или
h/p2.
Таким образом, мы имеем двулистное накрытие, разветвленное в четырех
точках, причем V является кривой рода 1. ¦
Замечание (относительно вещественной части). Предположим, что точка А,
которая используется для определения накрывающего отображения Ф^,
является вещественной точкой (имеет вещественные координаты). Тогда Ф^ -
вещественное отображение, переводящее вещественную часть Уц многообразия
V в P1(R). Образ представляет собой множество всех вещественных значений
z, для которых Cz содержит вещественную прямую, проходящую через А.
Вещественная квадратичная поверхность Cz может содержать вещественную
прямую
44
Глава I
только тогда, когда она является однополостным гиперболоидом, т. е. если
сигнатура квадратичной формы Qz равна (2,2), или если сигнатура формы
Ai - z 2, А2 - z 2, A3 - z 2 Н- -v Н- -rw
h - zp2 h - zp2 h - zp2
равна (2,1). Если мы расположим четыре точки {Ai, А2, A3, /i/р2} в
порядке возрастания Ai <Ъ < с < Аз, то условие принимает вид
z Е [Ai, Ь] U [с, А3].
Заметим, что мы использовали вещественную точку А многообразия V, а
значит, должны были предполагать, что вещественная часть Vr не пуста и,
следовательно, h/p2 Е [Ai, A3] (поэтому Ai наименьшее, а А3 наибольшее
число среди указанных четырех чисел). Тогда Vr, как мы уже отмечали,
состоит из двух связных компонент.
3.3. Линеаризация решений
Запишем дифференциальное уравнение М = [М, П] покомпонентно:
" й = (А3 - А2) vw,
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама