|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  < v = (Ai - А3) ь)щ w = (А2 - Ai) uv и рассмотрим дифференциальную форму ^ _ du _ dv _ dw (A3 - А2) vw (Ai - А3) wu (А2 - А3) uv Легко проверить (мы оставляем это читателю в качестве упражнения), что и; является голоморфной 1-формой на V. Поскольку V является кривой рода 1, то комплексное векторное пространство голоморфных 1-форм на V одномерно и существует изоморфизм и а : V -> С/Л (где Л - это период решетки пространства У), заданный соответствием: Твердое тело с неподвижной точкой 45 К h Рис. 3. Отображение момента для волчка Эйлера-Пуансо Теперь предположим, что toM(t) является решением дифферен- Это означает, что образы решений в С/Л суть прямые линии по модулю Л (в размерности 1 это и неудивительно) с линейной параметризацией (а это уже интересно). Таким образом, каноническая структура на С/Л является овеществлением аффинной структуры, определяемой потоком на V, 3.4. Лиувиллевы торы для волчка Эйлера-Пуансо Вернемся к исходной задаче Эйлера-Пуансо и рассмотрим вектор Г. Для любого М, удовлетворяющего уравнениям циального уравнения М = [М, П]. Имеем M(t) M(t) М( 0) М{ 0) к = Ip2 = I||M||2, н = \h = 1м-п, найдем все векторы Г, такие что 46 Глава I Второе уравнение - это уравнение плоскости, ортогональной М. Нас интересует пересечение этой плоскости с единичной сферой. Это пересечение является • пустым, если |с| >p/v% • точкой (Г = М), если |с| = p/V2, • окружностью, если \с\ <р/\/2. Комбинируя эти результаты с тем, что мы знаем относительно вектора М, мы находим образ "отображения момента" (Н,К) (рис. 3) и делаем вывод, что все регулярные поверхности уровня состоят из двух лиувиллевых торов. На границе образа критические уровни, соответствующие точкам общего положения, состоят из двух окружностей, а критические уровни, соответствующие линии А2, являются прямым произведением фигуры, имеющей вид двух пересекающихся окружностей, на окружность. Глава II Симметричный вращающийся волчок 1. Введение в теорию симметричных вращающихся волчков В этом параграфе мы, прежде всего, дадим классическое описание (см., например, книги Аппеля [7] и Арнольда [9]) движения оси симметрии вращающегося волчка (каждый, кто хотя бы раз играл с настоящим вращающимся волчком, понимает, что это интересный вопрос). Затем мы объясним также, как связано это движение с проблемой лиувилле-вых торов. В этом случае матрица тензора инерции имеет вид как указано выше (см. обозначения, которыми мы пользуемся, в 1.2.1), а ось L является третьим вектором в базисе. Зафиксируем орбиту Ос 1.1. Дифференциальные уравнения для 73 Изучив поведение величины М • Г, мы поймем, как меняется со временем положение оси L относительно вертикального направления Г. Запишем J = 1 О О О 1 о О 0 гп Попытаемся найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет 7з. 48 Глава II Поскольку Г = [Г, ?}], мы имеем 73 = 71 г; - 72и и 7з2 = Ti^2 + Т2^2 " 27i72mi7. (1) Воспользуемся тем, что w = М - L = к и с = М - Г. Отсюда "71 + "72 = с - &7з. Для вычисления слагаемого 2mryi72, возведем эту формулу в квадрат и подставим в уравнение (1): 7з2 = Ы + 71) (и2 + V2) - (с - &7з)2 . Поскольку вектор Г единичный, получаем 7з2 = (1 - 7з) (и2 + ^2) - (с - ^7з)2 • (2) Для того чтобы исключить члены, содержащие и и ", которые еще остаются в уравнении (2), мы воспользуемся интегралом Н: h - ^ + "2 + ^;&2) + 73? благодаря которому легко вычисляется и2 + "2. Подставим это выражение в (2): я' = 2Я+(1-^)^2- Окончательно получаем: 7з2 = (1 - 7з) (Л' " " 27з) - (с - А.'7з)2 • (3) Уравнение (3) имеет вид х2 = /(ж) для некоторого полинома / степени 3. Таким образом, мы должны рассмотреть кривую С, заданную уравнением У2 = f(x). (4) Эта кривая является эллиптической, на ней уравнение (3) принимает вид dt = dx/y. Для того чтобы значения (hyк) соответствовали действительным движениям вращающегося волчка, необходимо наличие решений, для Симметричный вращающийся волчок 49 Рис. 4. Кривая С которых - 1 ^ 7з ^ 1, так что кривая должна иметь вещественные точки на отрезке [-1,1]. Значения (/г, &), удовлетворяющие этому условию, можно найти непосредственно, однако это аналитически сложно. В 2.5 мы получим этот результат достаточно легко, а пока будем считать, что эти значения найдены. Так как /(=Ы) = -(с - К)2 ^ 0, то полином / должен иметь два вещественных корня Жз и Хч на [-1,1] и третий вещественный корень х\ > 1. Вещественная часть кривой С изображена на рис. 4. Заметим, что только ограниченная компонента соответствует действительным движениям. Это означает, что решения дифференциального уравнения (3), соответствующие действительным движениям волчка, принадлежат [#з,,Т2]. Поэтому, как и следовало ожидать и как видно из классических рисунков (рис. 7), конец оси во все время движения будет оставаться в полосе, ограниченной Хч и Жз. 1.2. Симплектическая редукция и лиувиллевы торы Поскольку случай Лагранжа характеризуется наличием оси симметрии, то на фазовом пространстве действует группа окружности. Рассмотрим
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
