Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 15

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 63 >> Следующая

< v = (Ai - А3) ь)щ w = (А2 - Ai) uv и рассмотрим дифференциальную форму
^ _ du _ dv _ dw
(A3 - А2) vw (Ai - А3) wu (А2 - А3) uv
Легко проверить (мы оставляем это читателю в качестве упражнения), что и;
является голоморфной 1-формой на V. Поскольку V является кривой рода 1,
то комплексное векторное пространство голоморфных 1-форм на V одномерно и
существует изоморфизм и а : V -> С/Л (где Л - это период решетки
пространства У), заданный соответствием:
Твердое тело с неподвижной точкой
45
К h
Рис. 3. Отображение момента для волчка Эйлера-Пуансо Теперь предположим,
что toM(t) является решением дифферен-
Это означает, что образы решений в С/Л суть прямые линии по модулю Л (в
размерности 1 это и неудивительно) с линейной параметризацией (а это уже
интересно). Таким образом, каноническая структура на С/Л является
овеществлением аффинной структуры, определяемой потоком на V,
3.4. Лиувиллевы торы для волчка Эйлера-Пуансо
Вернемся к исходной задаче Эйлера-Пуансо и рассмотрим вектор Г. Для
любого М, удовлетворяющего уравнениям
циального уравнения М = [М, П]. Имеем
M(t) M(t)
М( 0) М{ 0)
к = Ip2 = I||M||2, н = \h = 1м-п,
найдем все векторы Г, такие что
46
Глава I
Второе уравнение - это уравнение плоскости, ортогональной М. Нас
интересует пересечение этой плоскости с единичной сферой. Это пересечение
является
• пустым, если |с| >p/v%
• точкой (Г = М), если |с| = p/V2,
• окружностью, если \с\ <р/\/2.
Комбинируя эти результаты с тем, что мы знаем относительно вектора М, мы
находим образ "отображения момента" (Н,К) (рис. 3) и делаем вывод, что
все регулярные поверхности уровня состоят из двух лиувиллевых торов.
На границе образа критические уровни, соответствующие точкам общего
положения, состоят из двух окружностей, а критические уровни,
соответствующие линии А2, являются прямым произведением фигуры, имеющей
вид двух пересекающихся окружностей, на окружность.
Глава II
Симметричный вращающийся волчок
1. Введение в теорию симметричных вращающихся волчков
В этом параграфе мы, прежде всего, дадим классическое описание (см.,
например, книги Аппеля [7] и Арнольда [9]) движения оси симметрии
вращающегося волчка (каждый, кто хотя бы раз играл с настоящим
вращающимся волчком, понимает, что это интересный вопрос). Затем мы
объясним также, как связано это движение с проблемой лиувилле-вых торов.
В этом случае матрица тензора инерции имеет вид
как указано выше (см. обозначения, которыми мы пользуемся, в 1.2.1), а
ось L является третьим вектором в базисе. Зафиксируем орбиту Ос
1.1. Дифференциальные уравнения для 73
Изучив поведение величины М • Г, мы поймем, как меняется со временем
положение оси L относительно вертикального направления Г. Запишем
J =
1 О О
О 1 о
О 0 гп
Попытаемся найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет 7з.
48 Глава II
Поскольку Г = [Г, ?}], мы имеем 73 = 71 г; - 72и и
7з2 = Ti^2 + Т2^2 " 27i72mi7. (1)
Воспользуемся тем, что w = М - L = к и с = М - Г. Отсюда
"71 + "72 = с - &7з.
Для вычисления слагаемого 2mryi72, возведем эту формулу в квадрат и
подставим в уравнение (1):
7з2 = Ы + 71) (и2 + V2) - (с - &7з)2 .
Поскольку вектор Г единичный, получаем
7з2 = (1 - 7з) (и2 + ^2) - (с - ^7з)2 • (2)
Для того чтобы исключить члены, содержащие и и ", которые еще остаются в
уравнении (2), мы воспользуемся интегралом Н:
h - ^ + "2 + ^;&2) + 73?
благодаря которому легко вычисляется и2 + "2. Подставим это выражение в
(2):
я' = 2Я+(1-^)^2-
Окончательно получаем:
7з2 = (1 - 7з) (Л' " " 27з) - (с - А.'7з)2 • (3)
Уравнение (3) имеет вид х2 = /(ж) для некоторого полинома / степени 3.
Таким образом, мы должны рассмотреть кривую С, заданную уравнением
У2 = f(x). (4)
Эта кривая является эллиптической, на ней уравнение (3) принимает вид dt
= dx/y.
Для того чтобы значения (hyк) соответствовали действительным движениям
вращающегося волчка, необходимо наличие решений, для
Симметричный вращающийся волчок
49
Рис. 4. Кривая С
которых - 1 ^ 7з ^ 1, так что кривая должна иметь вещественные точки на
отрезке [-1,1]. Значения (/г, &), удовлетворяющие этому условию, можно
найти непосредственно, однако это аналитически сложно. В 2.5 мы получим
этот результат достаточно легко, а пока будем считать, что эти значения
найдены.
Так как /(=Ы) = -(с - К)2 ^ 0, то полином / должен иметь два вещественных
корня Жз и Хч на [-1,1] и третий вещественный корень х\ > 1.
Вещественная часть кривой С изображена на рис. 4. Заметим, что только
ограниченная компонента соответствует действительным движениям. Это
означает, что решения дифференциального уравнения (3), соответствующие
действительным движениям волчка, принадлежат [#з,,Т2]. Поэтому, как и
следовало ожидать и как видно из классических рисунков (рис. 7), конец
оси во все время движения будет оставаться в полосе, ограниченной Хч и
Жз.
1.2. Симплектическая редукция и лиувиллевы торы
Поскольку случай Лагранжа характеризуется наличием оси симметрии, то на
фазовом пространстве действует группа окружности. Рассмотрим
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама