|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  компонент. Являясь комплексным тором, кривая С (или, скорее, ее пополнение - мы должны добавить бесконечно удаленную точку) имеет вид С/Л для некоторой решетки Л. Вследствие вещественных свойств С, можно считать, что Л имеет базис (2а;,2а/), где 2а; Е R и 2а/ Е iR, а вещественная структура определяется комплексным сопряжением z z. В этих рамках две компоненты вещественной части появляются как образы вещественной оси и параллельной ей прямой, проходящей через а/ (см. Приложение 4 и особенно рис. 25). Функция Вейерштрасса имеет двойные полюса в точках решетки, следовательно, р(и) параметризует некомпактную вещественную компоненту для и Е R. Что касается компактной компоненты, то она параметризуется значениями р(и-\- а/) (" G R), которые также являются вещественными. Функция Вейерштрасса не имеет полюсов на этой прямой и является настоящей периодической функцией (см. рис. 26). 1.5. Движение оси Для полноты изложения - а также поскольку это красиво - напомним, как можно описать движение оси. Мы определили 73 как проекцию вектора Г на ось волчка, однако мы можем представлять ее как проекцию вектора L на вертикальную ось в неподвижной системе координат. С этой точки зрения мы только что описали так называемое движение нутации (колебания относительно вертикали). Напомним, что конец оси совершает периодические колебания в области, ограниченной двумя параллелями (ж3 ^ 73 ^ #2) на единичной сфере. 54 Глава II Полное движение волчка состоит из нутации, вращения вокруг его оси и прецессии, которую мы сейчас опишем. Представим вращение R относительно неподвижной и подвижной систем координат (см. 1.1) в виде произведения трех вращений, используя углы Эйлера2 6, ip и ф. • О - это угол между осью и вертикальным направлением, так что 7з = cos О* • Экваториальная плоскость волчка (плоскость L-1) пересекает горизонтальную плоскость по прямой 01, тогда ф - это угол между осью ОХ подвижной системы координат и этой прямой. Этот угол называется в астрономии азимутом. Изменение именно этого угла со временем мы и собираемся изучать. • Чтобы перевести ось 01 в ось Ох неподвижной системы координат, нужно повернуть ее вокруг вертикали. Последний угол, р, является углом этого вращения. Легко проверить, что (см., например, книгу Арнольда [9]), так что Следовательно, в зависимости от расположения величины с/к относительно двух корней хз и х2 полинома /, функция ф(Ь) либо монотонна, либо нет. Три диаграммы на рис. 7 показывают слева направо случаи с/к ^ [xz,x2\, с/к = х2 (случай с/к = xz мы оставляем читателю в качестве упражнения) и с/к ?\xz,x2[. 2Мы используем обозначения, взятые из книги Аппеля [7]. Симметричный вращающийся волчок 55 Рис. 7. Движение оси 2. Пара Лакса и следствия из нее Здесь мы начинаем использовать технику, которая описана во Введении. Мы также отсылаем читателя к обзору Вердьера [84], где эта техника вводится на "простом"3 примере симметричного волчка. Этот же пример исследуется или упоминается во всех работах по интегрируемым системам, в частности, в классической работе Адлера и ван Мербеке [2] (по-видимому, уравнения Лакса, которые будут использоваться ниже, впервые выписаны в этой работе) и в работе Ратью и ван Мербеке [73]. 2.1. Уравнение Лакса Используя обозначения из Главы I, более точно из 1.2.1, имеем: Предложение 2.1.1. Дифференциальная система, которая описывает движение волчка Лагранжа, эквивалентна следующей: ,------^-----S ГА-1 + М + LX = [ГА-1 + М + L\ П + XL] . Доказательство. Это уравнение было получено из уравнения (Ef) Главы I, а именно Г + еМ = [Г + еМ, П + гЬ\ 3Мы объясним использование кавычек в 2.4. 56 Глава II при помощи замены е на неопределенный коэффициент Л (напомним, что е2 = 0) и сдвигом показателей, для того чтобы придать уравнению надлежащий вид. Единственное, что надо сделать, - это проверить, что коэффициенты при Л2 и Л справа и слева совпадают. Очевидно, что коэффициент при Л2 в обеих частях равен нулю. Поскольку L является постоянной, то линейный член слева равен нулю. Чтобы утверждать то же самое для правой части, нам необходимо доказать, что [L, П] + [М, L] = 0, т. е. (М - П) х L = 0. В силу предположения о виде матрицы инерции J получаем, что вектор М - Q, коллинеарен L. ¦ Имея в виду так называемую АКС-теорему (см. Приложение 2), рассмотрим следующие дифференциальные уравнения: ^ (ГА-1 +M + LX) = [ГА-1 + М + L\,M + LX], где матрица M+LX является полиномиальной частью ГА_1+М+ТА, и j-t (ГА-1 + М + LX) = [ГА-1 +M + LX,L\, где матрица L является полиномиальной частью А-1 (ГА-1 + М + LX). В Приложении 2 показано, что существуют гамильтоновы уравнения для функций Hf и К (напомним из 1.1, что Hf = 2Н + (1 - l/m)i^2): здесь g = so(3)[A, А-1] раскладывается в сумму подалгебр полиномов по переменным А и А-1, а инвариантные функции суть tr(A2)/2 и A-1tr(A2)/2, соответственно. Две матрицы М + LX и L являются соответствующими градиентами этих двух функций в точке (Г,Ь).
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
