Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 17

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 63 >> Следующая

компонент. Являясь комплексным тором, кривая С (или, скорее, ее
пополнение - мы должны добавить бесконечно удаленную точку) имеет вид С/Л
для некоторой решетки Л. Вследствие вещественных свойств С, можно
считать, что Л имеет базис (2а;,2а/), где 2а; Е R и 2а/ Е iR, а
вещественная структура определяется комплексным сопряжением z z. В этих
рамках две компоненты вещественной части появляются как образы
вещественной оси и параллельной ей прямой, проходящей через а/ (см.
Приложение 4 и особенно рис. 25).
Функция Вейерштрасса имеет двойные полюса в точках решетки,
следовательно, р(и) параметризует некомпактную вещественную компоненту
для и Е R. Что касается компактной компоненты, то она параметризуется
значениями р(и-\- а/) (" G R), которые также являются вещественными.
Функция Вейерштрасса не имеет полюсов на этой прямой и является настоящей
периодической функцией (см. рис. 26).
1.5. Движение оси
Для полноты изложения - а также поскольку это красиво - напомним, как
можно описать движение оси. Мы определили 73 как проекцию вектора Г на
ось волчка, однако мы можем представлять ее как проекцию вектора L на
вертикальную ось в неподвижной системе координат. С этой точки зрения мы
только что описали так называемое движение нутации (колебания
относительно вертикали). Напомним, что конец оси совершает периодические
колебания в области, ограниченной двумя параллелями (ж3 ^ 73 ^ #2) на
единичной сфере.
54
Глава II
Полное движение волчка состоит из нутации, вращения вокруг его оси и
прецессии, которую мы сейчас опишем. Представим вращение R относительно
неподвижной и подвижной систем координат (см. 1.1) в виде произведения
трех вращений, используя углы Эйлера2 6, ip и ф.
• О - это угол между осью и вертикальным направлением, так что 7з = cos
О*
• Экваториальная плоскость волчка (плоскость L-1) пересекает
горизонтальную плоскость по прямой 01, тогда ф - это угол между осью ОХ
подвижной системы координат и этой прямой. Этот угол называется в
астрономии азимутом. Изменение именно этого угла со временем мы и
собираемся изучать.
• Чтобы перевести ось 01 в ось Ох неподвижной системы координат, нужно
повернуть ее вокруг вертикали. Последний угол, р, является углом этого
вращения.
Легко проверить, что
(см., например, книгу Арнольда [9]), так что
Следовательно, в зависимости от расположения величины с/к относительно
двух корней хз и х2 полинома /, функция ф(Ь) либо монотонна, либо нет.
Три диаграммы на рис. 7 показывают слева направо случаи с/к ^ [xz,x2\,
с/к = х2 (случай с/к = xz мы оставляем читателю в качестве упражнения) и
с/к ?\xz,x2[.
2Мы используем обозначения, взятые из книги Аппеля [7].
Симметричный вращающийся волчок 55
Рис. 7. Движение оси
2. Пара Лакса и следствия из нее
Здесь мы начинаем использовать технику, которая описана во Введении. Мы
также отсылаем читателя к обзору Вердьера [84], где эта техника вводится
на "простом"3 примере симметричного волчка. Этот же пример исследуется
или упоминается во всех работах по интегрируемым системам, в частности, в
классической работе Адлера и ван Мербеке [2] (по-видимому, уравнения
Лакса, которые будут использоваться ниже, впервые выписаны в этой работе)
и в работе Ратью и ван Мербеке [73].
2.1. Уравнение Лакса
Используя обозначения из Главы I, более точно из 1.2.1, имеем:
Предложение 2.1.1. Дифференциальная система, которая описывает движение
волчка Лагранжа, эквивалентна следующей:
,------^-----S
ГА-1 + М + LX = [ГА-1 + М + L\ П + XL] .
Доказательство.
Это уравнение было получено из уравнения (Ef) Главы I, а именно
Г + еМ = [Г + еМ, П + гЬ\
3Мы объясним использование кавычек в 2.4.
56
Глава II
при помощи замены е на неопределенный коэффициент Л (напомним, что е2 =
0) и сдвигом показателей, для того чтобы придать уравнению надлежащий
вид. Единственное, что надо сделать, - это проверить, что коэффициенты
при Л2 и Л справа и слева совпадают. Очевидно, что коэффициент при Л2 в
обеих частях равен нулю. Поскольку L является постоянной, то линейный
член слева равен нулю. Чтобы утверждать то же самое для правой части, нам
необходимо доказать, что [L, П] + [М, L] = 0, т. е. (М - П) х L = 0. В
силу предположения о виде матрицы инерции J получаем, что вектор М - Q,
коллинеарен L.
¦
Имея в виду так называемую АКС-теорему (см. Приложение 2), рассмотрим
следующие дифференциальные уравнения:
^ (ГА-1 +M + LX) = [ГА-1 + М + L\,M + LX],
где матрица M+LX является полиномиальной частью ГА_1+М+ТА, и
j-t (ГА-1 + М + LX) = [ГА-1 +M + LX,L\,
где матрица L является полиномиальной частью А-1 (ГА-1 + М + LX). В
Приложении 2 показано, что существуют гамильтоновы уравнения для функций
Hf и К (напомним из 1.1, что Hf = 2Н + (1 - l/m)i^2): здесь g = so(3)[A,
А-1] раскладывается в сумму подалгебр полиномов по переменным А и А-1, а
инвариантные функции суть tr(A2)/2 и A-1tr(A2)/2, соответственно. Две
матрицы М + LX и L являются соответствующими градиентами этих двух
функций в точке (Г,Ь).
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама