Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 18

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 63 >> Следующая

2.2. Спектральная кривая
Уравнение Лакса из предложения 2.1.1, как и любое уравнение Лакса,
описывает изоспектральные вариации матрицы. Таким образом, коэффициенты
характеристического полинома являются первыми интегралами. Кроме того, в
силу сделанного выше замечания и согласно АКС-теореме (Приложение 2),
функции Н! и К коммутируют на орбите Ос. В 1.2.1 было показано, что Н и К
коммутируют. Эти два утверждения эквивалентны, так как Н! является
линейной комбинацией Н и К2.
Симметричный вращающийся волчок 57
Уравнение спектральной кривой имеет вид
det (ГА-1 +M + LX- /"/) = О,
где вектор ГА-1 +М + LX рассматривается как кососимметричная мат-рица.
Таким образом, 0 является собственным значением, а характеристический
полином записывается в виде //, (//2 + Q(A)), где
Q( А) = | |Г А-1 + М + LX\\2
= - itr (ГА-1 + М + LX)2
= А"2 + 2М • ГА"1 + \\М\\2 + 2Г • L + 2М • LX + А2.
Сдвиг в показателях степеней А показывает, что два кинетических момента
с = М • Г и К = М • L играют одинаковую роль. Если наша
точка (М, Г) принадлежит уровню (/г', к) интегралов (Н',К) на орби-
те Ос, то
Q( А) = А-2 + 2cA_1 +h' + 2kX + А2.
Очевидно, коэффициенты являются исходными первыми интегралами (мы не
получили ничего нового!). Уравнение спектральной кривой с индексом (/г',
к) (или с соответствующим индексом (Л, к)) имеет вид
\i (/i2 + Q(A)) =0.
Более удобно4 использовать аффинную кривую Xq:
М2 + А-2 + А2 + 2 (сА-1 + кХ) + ti = 0. (6)
Фактически мы хотим использовать кривую, пополненную и нормализованную в
точках А = 0 и А = оо (см. П.4.1). Обычно считается, что уравнение (6)
задано в пространстве Р1 х Р1: две переменные А и fi пополняются
независимо. Например, при А = оо кривая имеет две ветви, которые являются
чисто мнимыми и сопряженными, так что
4На этом пути мы игнорируем компоненту рода 0 и ее точки пересечения с
Xq, которые могли бы дать некомпактные слагаемые в (обобщенном) якобиане
всей спектральной кривой. Это не так уж страшно, однако пришлось бы
воспользоваться другим подходом (см. работу Адлера и ван Мербеке [2]). К
тому же процесс не вполне безобидный (см. 2.4).
58
Глава II
гладкое пополнение имеет две (мнимые сопряженные) точки а_ и Ь-над Л = оо
(Л = оо, /х = ±гоо). Случай Л = 0 рассматривается аналогично. Обозначим
соответствующие точки через а+ и Эта гладко пополненная кривая является
двулистным накрытием пространства Р1, разветвленным в четырех корнях
полинома A2Q(A). Таким образом, получаем кривую рода 1, которую будем
называть спектральной кривой и обозначать через X.
Мы уже знаем, что в нашей задаче должна возникнуть эллиптическая кривая
(см. 1.1). Связь между двумя кривыми С и X будет обсуждаться в 2.4.
2.3. Отображение собственных векторов
Спектральная кривая дает нам некоторую информацию (фактически всю) о
(ненулевых) собственных значениях матрицы Лакса А\. Рассмотрим ее
собственные значения. Если (А,//) ? X, то, вообще говоря, А\ имеет
собственную прямую с собственным значением /х. Это утверждение неверно
ровно в четырех точках, в которых /х = 0. Однако в этих точках существует
предельная прямая. Более точно:
Предложение 2.3.1. Если кривая X является гладкой, то существует
комплексное векторное расслоение степени -4 над X, причем в точке (А,//)
(/х ф 0) слой представляет собой собственное подпространство матрицы
Лакса А\7 соответствующее собственному значению /х.
Это предложение непосредственно следует из общего результата П.3.1.1.
Утверждение относительно степени может быть получено как следствие
теоремы Гротендика-Римана-Роха (см. П.4.1). Доказательство слегка
отличается от приведенного в Приложении 3, поскольку сумма двух
собственных подпространств, соответствующих двум различным значениям /х
над данным А, не совпадает со всем пространством С3: мы отбросили ядро
А\. В любом случае мы будем искать в явном виде дивизор5, представляющий
это расслоение, так что утверждение о степени становится очевидным.
5См. Приложение 4 и ссылки, приведенные там, относительно дивизоров,
линейных расслоений и групп Пикара.
Симметричный вращающийся волчок
59
Предложение 2.3.2. Пусть а_ и Ъ- - две точки кривой X над А = оо Е Р1? и
пусть R± - две точки кривой X, заданные условием
А (Л±) = -
7i Т Н2 и =F iv '
А*
(Д±) = ±* (тзЛ (Д±)_1 + "; + А (Д±)) .
Тогда существует нигде не обращающееся в нуль сечение расслоения
собственных векторов, дивизор полюсов которого равен R+ 4- R--\--\-fi- -Ь
()-.
Это утверждение необходимо нам, чтобы закончить доказательство
предложения 2.3.1. Докажем его.
Доказательство.
Рассмотрим кососимметричную матрицу
/ ( 0 -z У
А = 0 -х
\ v -У х 0
Если (л - собственное значение матрицы А, т. е. р2 -\- х2 -\-у2 -\- z то
2 _
О,
У =
/
V
XZ •
х2 4- у2 - yz + рх х2 4- у2
1
является собственным вектором матрицы А, отвечающим значению р. Этот
вектор нигде не обращается в нуль, поскольку его третья компонента всегда
отлична от нуля. Если А есть матрица ГА-1 4- М + ХА, то она определяет не
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама