|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  обращающееся в нуль сечение У (А ,/х) расслоения собственных векторов. Нам остается рассмотреть полюсы У (А ,/х), т. е. точки (А,/х) Gl, в которых либо первая, либо вторая координата обращаются в бесконечность. Легко проверить, что 60 Глава II - базис комплексного векторного пространства, порожденного - xz - (лу - yz + fix X2 + у2 X? + у2 Таким образом, нам остается найти полюсы функций /+ и /_. Эти функции отличаются знаком перед ", поэтому достаточно найти полюсы функции /+. Знаменатель функции /+ обращается в нуль при х - гу = (71 - г'72) А-1 + (и - iv) = 0, другими словами, при А = - (71 - г'72) / (и - iv). Этому значению А соответствуют два значения //; для одного из них числитель также обращается в нуль. Напомним, что (/" + iz) (/х - iz) 4- (ж + гу) {х - гу) = 0. Мы получили точку из нашего утверждения. Это простой полюс функции /+. Аналогично, R_ - это простой полюс функции /_. Числитель /х-К (7зА_1+у;+А) стремится к бесконечности при А=0 или А = оо. При А = 0 знаменатель также обращается в бесконечность. Таким образом, точки а_ и Ь- являются простыми полюсами функций /+ и /_ и, следовательно, полюсами первых двух координат собственного вектора. ¦ Замечание. Так как /х2 + х2 + у2 + z2 = 0, имеем /+/_ = -1. Поэтому полюсы функции /+ являются нулями функции /_ и, в частности, R+ + а- ~ R- + Ь_ (это отношение линейной эквивалентности, см. Приложение 4). Значение (/1', к) первых интегралов определяет как кривую X, так и поверхность уровня с индексом (hf,k) (в качестве индекса можно использовать саму кривую X). Обозначим эту поверхность уровня через Тх- То, что мы определили, можно рассматривать как отображение, отображение собственных векторов fx : Тх -> Pic4(X), которое с каждой точкой (Г, М) уровня Тх связывает линейное расслоение, двойственное расслоению собственных векторов. Тем самым определено линейное расслоение, слоем которого в точке (А,/х) ? X является собственная (сопряженная) прямая матрицы ГА-1 + М + ТА, Симметричный вращающийся волчок 61 отвечающая собственному значению р. Теперь мы имеем явного представителя из класса образа. Наиболее классическое применение построенного отображения - это линеаризация потоков. Предложение 2.3.3. Отображение fx линеаризует потоки интегралов Н!, К и Н. Доказательство основано на непосредственном применении общего утверждения о линеаризации П.3.3.2. Другое возможное применение заключается в определении регулярных значений. В его основе лежит предложение П.3.2.3. Коциклы, связанные с функциями Hf и К в силу этого предложения, определяются значениями р и /лА-1, соответственно. Легко проверить, что функция (IА-1 голоморфна в окрестности А = оо, так что она определяет нулевой класс в одномерном векторном пространстве if1(X;Ox)5 которое является касательным пространством к Pic4(X). Это означает, что Х^(Г,М) принадлежит ядру касательного отображения Т(г ,м)/х-Фактически это векторное поле порождает ядро, поскольку рь является ненулевым элементом в группе когомологий. Таким образом, векторы Хнг и Хк независимы. Мы доказали следующее Предложение 2.3.4. Если комплексная кривая X является гладкой, то точка (Д. k) ? С2 - регулярное значение отображения момента (if, К) на орбите Ос. Это утверждение будет дополнено (словами "только если" и "вещественный") в предложении 2.5.1. Заметим, тем не менее, что очень легко узнать, является ли кривая гладкой: это так, в точности когда четыре корня полинома A2Q(A) различны. Замечание. Если мы не хотим использовать симметрии задачи, то в качестве альтернативы можно заменить якобиан кривой X двумерным якобианом, как поступили Гаврилов и Живков [33]. Заметим, что член наивысшей степени в матрице Лакса А\ - это L, постоянная матрица. Поэтому существует изоморфизм слоев расслоения собственных векторов в точках о_ и L. Таким образом, отображение собственных векторов fx'Tx->• Pic4(X) 62 Глава II факторизуется с помощью множества классов изоморфизмов линейных расслоений Е ->¦ X с изоморфизмом Еа_ ->¦ Еь_. Это не что иное как якобиан особой кривой Х8, полученной из X отождествлением а_ и L, а это есть расширение Pic(X) мультипликативной группой С*. Мы не будем здесь использовать обобщенные якобианы: якобиан кривой X проще и будет достаточным для наших целей. 2.4. Дальнейшие комментарии и свойства В действительности, "простой" пример оказывается не таким уж простым. Это происходит по нескольким причинам. Во-первых, поток интеграла К является периодическим и порождает группу вращений вокруг оси. Следовательно, циклическая группа действует на всей системе и кажется разумным рассмотреть редуцированную систему, которая получается факторизацией по TZ, (см. 1.2). Однако уравнение Лакса описывает нередуцированную систему. Кроме того, уравнение Лакса задано на во(3)[А, А-1], и кососимметричная матрица размера 3x3 всегда имеет собственное значение 0. Спектральная кривая, которую мы используем, является единственной неприводимой
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
