Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 19

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 63 >> Следующая

обращающееся в нуль сечение У (А ,/х) расслоения собственных векторов.
Нам остается рассмотреть полюсы У (А ,/х), т. е. точки (А,/х) Gl, в
которых либо первая, либо вторая координата обращаются в бесконечность.
Легко проверить, что
60
Глава II
- базис комплексного векторного пространства, порожденного
- xz - (лу - yz + fix
X2 + у2 X? + у2
Таким образом, нам остается найти полюсы функций /+ и /_. Эти функции
отличаются знаком перед ", поэтому достаточно найти полюсы функции /+.
Знаменатель функции /+ обращается в нуль при х - гу = (71 - г'72) А-1 +
(и - iv) = 0, другими словами, при А = - (71 - г'72) / (и - iv). Этому
значению А соответствуют два значения //; для одного из них числитель
также обращается в нуль. Напомним, что
(/" + iz) (/х - iz) 4- (ж + гу) {х - гу) = 0.
Мы получили точку из нашего утверждения. Это простой полюс функции /+.
Аналогично, R_ - это простой полюс функции /_.
Числитель /х-К (7зА_1+у;+А) стремится к бесконечности при А=0 или А = оо.
При А = 0 знаменатель также обращается в бесконечность. Таким образом,
точки а_ и Ь- являются простыми полюсами функций /+ и /_ и,
следовательно, полюсами первых двух координат собственного вектора. ¦
Замечание. Так как /х2 + х2 + у2 + z2 = 0, имеем /+/_ = -1. Поэтому
полюсы функции /+ являются нулями функции /_ и, в частности, R+ + а- ~ R-
+ Ь_ (это отношение линейной эквивалентности, см. Приложение 4).
Значение (/1', к) первых интегралов определяет как кривую X, так и
поверхность уровня с индексом (hf,k) (в качестве индекса можно
использовать саму кривую X). Обозначим эту поверхность уровня через Тх-
То, что мы определили, можно рассматривать как отображение, отображение
собственных векторов
fx : Тх -> Pic4(X),
которое с каждой точкой (Г, М) уровня Тх связывает линейное расслоение,
двойственное расслоению собственных векторов. Тем самым определено
линейное расслоение, слоем которого в точке (А,/х) ? X является
собственная (сопряженная) прямая матрицы ГА-1 + М + ТА,
Симметричный вращающийся волчок
61
отвечающая собственному значению р. Теперь мы имеем явного представителя
из класса образа.
Наиболее классическое применение построенного отображения - это
линеаризация потоков.
Предложение 2.3.3. Отображение fx линеаризует потоки интегралов Н!, К и
Н.
Доказательство основано на непосредственном применении общего утверждения
о линеаризации П.3.3.2.
Другое возможное применение заключается в определении регулярных
значений. В его основе лежит предложение П.3.2.3. Коциклы, связанные с
функциями Hf и К в силу этого предложения, определяются значениями р и
/лА-1, соответственно. Легко проверить, что функция (IА-1 голоморфна в
окрестности А = оо, так что она определяет нулевой класс в одномерном
векторном пространстве if1(X;Ox)5 которое является касательным
пространством к Pic4(X). Это означает, что Х^(Г,М) принадлежит ядру
касательного отображения Т(г ,м)/х-Фактически это векторное поле
порождает ядро, поскольку рь является ненулевым элементом в группе
когомологий. Таким образом, векторы Хнг и Хк независимы. Мы доказали
следующее
Предложение 2.3.4. Если комплексная кривая X является гладкой, то точка
(Д. k) ? С2 - регулярное значение отображения момента (if, К) на орбите
Ос.
Это утверждение будет дополнено (словами "только если" и "вещественный")
в предложении 2.5.1. Заметим, тем не менее, что очень легко узнать,
является ли кривая гладкой: это так, в точности когда четыре корня
полинома A2Q(A) различны.
Замечание. Если мы не хотим использовать симметрии задачи, то в качестве
альтернативы можно заменить якобиан кривой X двумерным якобианом, как
поступили Гаврилов и Живков [33]. Заметим, что член наивысшей степени в
матрице Лакса А\ - это L, постоянная матрица. Поэтому существует
изоморфизм слоев расслоения собственных векторов в точках о_ и L. Таким
образом, отображение собственных векторов
fx'Tx->• Pic4(X)
62
Глава II
факторизуется с помощью множества классов изоморфизмов линейных
расслоений Е ->¦ X с изоморфизмом Еа_ ->¦ Еь_. Это не что иное как
якобиан особой кривой Х8, полученной из X отождествлением а_ и L, а это
есть расширение Pic(X) мультипликативной группой С*. Мы не будем здесь
использовать обобщенные якобианы: якобиан кривой X проще и будет
достаточным для наших целей.
2.4. Дальнейшие комментарии и свойства
В действительности, "простой" пример оказывается не таким уж простым. Это
происходит по нескольким причинам.
Во-первых, поток интеграла К является периодическим и порождает группу
вращений вокруг оси. Следовательно, циклическая группа действует на всей
системе и кажется разумным рассмотреть редуцированную систему, которая
получается факторизацией по TZ, (см. 1.2). Однако уравнение Лакса
описывает нередуцированную систему.
Кроме того, уравнение Лакса задано на во(3)[А, А-1], и кососимметричная
матрица размера 3x3 всегда имеет собственное значение 0. Спектральная
кривая, которую мы используем, является единственной неприводимой
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама