Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 21

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 63 >> Следующая

предложения 2.3.2, так что
( R.\- + R~ ~ D,
R-1_ - iZ_ ~ (I- - Ь-
и точка корректно определена с точностью до элемента порядка 2.
Существуют три ненулевых элемента порядка 2 в группе Pic°(X), однако, как
видно из предыдущего примера, только один из них переводит точку R+ (Г,
М) в точку Д+(Г',М') того же вида. Тем самым определена инволюция а на
Tx/R-
Утверждение о нетривиальности накрытия есть следствие того факта, что
уровни Тх связны, а это мы уже доказали в 1.2 и 1.3 и еще раз докажем в
2.6. Тем не менее, для доказательства этого факта предпочтительнее
использовать отображение собственных векторов. Рассуждение с накрытиями
более деликатно. ¦
Замечание.
• На рис. 8 показано преобразование, индуцированное инволюцией а на 7з
(кривая у2 = f(x) представляет собой две вещественные компоненты кривой
X, т. е. многообразия Pic2(X), см. Приложение 4). Элементы порядка 2 -
это точки с координатами (я7,0), причем именно точка с координатой (#1,0)
позволяет перейти от к R-.
66
Глава II
Рис. 8.
• Доказательство показывает, что комплексифицированное отображение
fx ¦ т?/кс -> Pic2(X) многообразия Тх /^С на свой образ имеет степень 4.
2.5. Регулярные и критические значения
Спектральная кривая X описывает (ненулевые) собственные значения
кососимметричной матрицы А\ = ГА-1 + М + LX. Комплексная кривая Хс
является гладкой, в точности когда полином A2Q(A) не имеет кратных
корней. Сейчас мы сформулируем более полное утверждение, чем утверждение
2.3.4 (с доказательством) о регулярных значениях отображения (Hf,K). В
частности, заметим, что в этом случае X не имеет вещественных точек: Q(А)
= ||ГА-1 + М + LX\\2 > 0, Хц - 0.
Предложение 2.5.1. Точка (h,k) Е R2 является регулярным значением
отображения момента (Н,К) на орбите Ос тогда и только тогда, когда
соответствующая комплексная кривая Хс является гладкой.
Доказательство.
По определению, комплексная кривая Хс является гладкой в точках А = 0 и А
= оо, причем она особа тогда и только тогда, когда полином A2Q имеет
кратный корень. Это вещественный полином четвертой степени,
неотрицательный для вещественных значений А. Если он имеет кратные корни,
то они могут быть либо двукратными вещественными, либо двукратными
комплексно-сопряженными корнями.
Симметричный вращающийся волчок 67
Более того, полином имеет двукратный вещественный корень тогда и только
тогда, когда он имеет хотя бы один вещественный корень, т. е. если
ЗЛ G R I ГА-1 + М + LX = 0.
Он имеет два двукратных комплексно-сопряженных корня тогда и только
тогда, когда он является квадратом неприводимого вещественного полинома,
т. е. тогда и только тогда, когда
A2Q = 1 + 2сА + Ы А2 + 2fcA3 + А4 = (1 + сА + А2)2.
Это может быть выполнено лишь в том случае, если
I Ы = с2 + 2,
\ к = с,
где с2 - 4 < 0, поскольку два двукратных корня не являются вещест-
венными.
Рассмотрим поверхность уровня интегралов (#,К). Мы находимся на орбите
Ос:
[ГМ = с и хотим выяснить, когда функции
{.Н(Т + еМ) = ifi-Af + r-L,
К (Г + еМ) =Ь М независимы. Мы уже вычислили градиенты (см. 1.2.1):
Vr+eiiri? = Г1 + eL,
Vr+?мК = L.
Относительно той же самой инвариантной билинейной формы градиенты двух
функций, которые задают орбиту Ос, очевидно, равны еГ
68
Глава II
и Г + еМ соответственно. Вопрос о регулярности поверхностей уровня
эквивалентен вопросу о ранге матрицы размера 6x4:
/О Г П L \
\ Г М L 0 ) '
а его нетрудно найти. Воспользовавшись коллинеарностью векторов М - П и L
или заменяя Н на Н\ получаем, что ранг этой матрицы равен рангу матрицы
( О Г М L \
\Г ill L 0 )'
Утверждение, что ранг не максимален, эквивалентно утверждению, что три
вектора Г, М, L пространства R3 зависимы.
1) Если векторы L, Г, М коллинеарны - ось волчка, а также кинетический
момент вертикальны - то нашу матрицу можно записать в виде
/О Г sT tr \
V Г sr tr 0 )
для некоторых вещественных чисел s и t. В этой точке отображение момента
(НУК) имеет нулевой ранг и принимает значение
г2
h = 2т + ^ к = СТ1 ПРИ
или
Г Ъ! = с2 + 2г?,
1 к = crj
в соответствии с предыдущей формулой. Для ?/ = 1 и с < 2 в этой точке
многочлен A2Q имеет два комплексно-сопряженных двукратных корня.
2) Если три вектора порождают двумерное подпространство в R3, то имеем
два линейных соотношения
/ЗТ + jM + SL = О
Симметричный вращающийся волчок
69
К
~Н'
-нт
Рис. 9. Отображение момента (Н\К) для симметричного волчка
и
аГ + f3M + 7 L = О,
которые выражают тот факт, что ранг < 4. Если поделить первое соотношение
на 7, а второе на /3, то получим систему
Г аГ + М + XL = О,
\ ЬГ + М + а~гЬ - 0.
Следовательно, а = Л-1 и существует вещественное число Л, такое что ГЛ-1
+ М + LX = 0. Другими словами, Л2Q имеет вещественный (двукратный)
корень, и ранг отображения момента равен 1.
70
Глава II
На рис. 9 показан образ отображения момента (его регулярные и критические
значения) для с ^ 0 (отсюда легко вывести случай с ^ 0: если поменять
знак у М, то с изменится на -с, К на -X, а ||Г||2, Н! и Н не изменятся).
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама