Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 22

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 63 >> Следующая

Две выделенные точки на каждой диаграмме изображают значения (Hf,K), в
которых полином имеет два двукратных корня, а кривая соответствует одному
вещественному двукратному корню. Заметим, что на нижней левой диаграмме
одна из выделенных точек лежит внутри образа, а не на критической кривой:
это соответствует двум комплексным двукратным корням, а также особой
кривой Хс с гладкой (в действительности, пустой) вещественной частью.
Предложение 2.5.1 связывает гладкость вещественных поверхностей уровня с
гладкостью комплексной кривой.
2.6. Особенности
Объясним, как были получены диаграммы на рис. 9, и дадим некоторые
комментарии относительно образа, особых значений и критических
поверхностей уровня.
Дискриминант. Эти диаграммы суть не что иное как сечения дискриминанта
всех полиномов степени 4 (ласточкин хвост). Дискриминантная кривая
параметризуется двукратным корнем t. Действительно, запишем: A2Q(A) = (А
- t)2(X2 4- аХ + 6), откуда
( Н' = t2 - АсГ1 - З*-2,
{ К = -t + ct~2 + *"3.
Получаем две ветви при t < 0 и t > 0. Замена с на -с меняет эти ветви
местами, так что снова достаточно рассмотреть случай с ^ 0. Две ветви
пересекаются, когда A2Q имеет два вещественных двукратных корня, т. е.
когда t2 - ct +1 = 0 (в этом случае две ветви пересекаются в точке (НГ,К)
= (с2 - 2,-с)) и когда t2 4- ct 4- 1 = 0 (в этом случае одна из ветвей
имеет точку самопересечения (Н',К) = (с2 + 2, с) при с2 - 4 ^ 0).
При с2-4 < 0 два корня уравнения t2-\-ct-\-1 = 0 являются двукратными
корнями полинома A2Q, которые соответствуют вещественным значениям (с2 +
2,с) отображения момента (Н',К).
Симметричный вращающийся волчок
71
Образ отображения момента. Поскольку орбита Ос является связной, то образ
отображения момента также связен. Для того чтобы доказать, что этот образ
действительно имеет вид, изображенный на рис. 9, нам необходимо лишь
проверить, что в любой заштрихованной компоненте дополнения к
дискриминанту найдется точка, которая не может принадлежать образу. Это
легко сделать, используя тот факт, что Я; ^ -2 и что \2Q не может иметь
вещественного трехкратного корня для вещественных значений Г и М.
Критические поверхности уровня общего вида. В данном случае задача
описания бифуркаций торов Лиувилля решается достаточно просто.
Единственное, что нужно понять, - это как пересечь границу образа. Точки
общего положения (т. е. точки, не являющиеся выделенными) границы образа
соответствуют критическим поверхностям уровня, которые представляют собой
окружности.
Это можно проверить непосредственно. Если t Е R - параметр точки на
дискриминантной кривой, то Г + tM + t2L = 0, откуда 7з = -tK - i2, вектор
Г описывает соответствующую параллель на единичной сфере и 7i + tu = 72 +
tv = 0 определяет единственный вектор М, который зависит от Г.
Следовательно, критический уровень является окружностью.
Однако это утверждение следует также из алгебро-геометричес-кого
описания, приведенного в 1.2: мы имеем расслоение со слоем окружность над
овалом, а овал вырождается в особую точку. На рис. 7 это означает, что
сферический пояс становится тоньше и тоньше, а затем превращается в
окружность.
Заметим, что прямое доказательство показывает, что эти уровни (и,
следовательно, все непустые уровни) являются связными.
Точки типа центр-центр и фокус-фокус. Выделенные точки на рис. 9
соответствуют слоям, содержащим точку, в которой отображение момента
(Н',К) : Ос ->¦ R2
имеет ранг 0. Либо непосредственно, либо используя алгебро-геомет-
рическое описание, легко понять, что линии уровня выделенных точек на
границе (т. е. углов границы, где (/&',&) = (с2 + 2г?,??с) при г? = ±1 и
с2 ^ 4) состоят из изолированных критических точек. Такие точки
72
Глава II
называются точками типа центр-центр. Картина аналогична той, что имеет
место в окрестности неподвижной точки гамильтонова действия тора Т2 на
четырехмерном симплектическом многообразии.
Мы сталкиваемся с совершенно иной ситуацией в выделенной точке, которая
лежит внутри образа = (с2+ 2, с) при с2 < 4). Прооб-
раз такой точки есть сфера с двумя отождествленными точками (это и есть
критическая точка на этом уровне). Такие точки носят название точек типа
фокус-фокус.
Несколько слов о точке типа фокус-фокус. Наличие особой точки внутри
образа есть вещь необычная для особенности дифференциального отображения,
однако это типично для интегрируемых систем с двумя степенями свободы
(см. также рис. 17 в Главе IV). Такая особая точка появляется в
классификации абелевых подалгебр алгебры Ли симплектических групп
пространства R4 или, что то же самое, в абелевых подалгебрах однородных
квадратичных полиномов на R4 со стандартной скобкой Пуассона (это теорема
Вилльямсона [88], разъясненная Арнольдом в Приложении 6 книги [9] и
использованная, например, Лерманом и Уманским [58] и Десолнэ-Моли [24]).
В общем случае, прообраз точки типа фокус-фокус состоит из цепочки сфер
(в нашем примере мы имеем ровно одну сферу), причем соседние сферы
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама