|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  которые взяты непосредственно из [55]. 76 Глава III Это позволило ей записать уравнение ?R{y) + yR(x) + Ri(x,y) + к(х - у)2 = о. Она также заметила, что -4{§}2 = вд + (*-")Ч (1) и решила рассмотреть кривую ? рода 1, отвечающую уравнению и2 = -R(x). Ее якобиан2 является (изоморфной) кривой ?', заданной уравнением t2 = S(s), где Кривая ? является главным однородным пространством относительно действия группы ?'. Знаки + и -, которые мы будем использовать, относятся к этому действию. Рассмотрим голоморфную форму ш = dx/u. Автоморфизмы кривой ?, которые переводят ш в ±и;, имеют вид М Р±М для некоторой точки Р кривой ?' (см. работы Хорозова и ван Мербеке [43], а также Вейля [86]). Другими словами, точки Р кривой ?' параметризуют эти автоморфизмы. Это можно объяснить с помощью формул. Будем искать автор- морфизм (ж,и) {y,v) (v2 = R(y))i такой что ^ другими словами, такой что Решения этого дифференциального уравнения удовлетворяют соотношению 2Разница между кривой рода 1 и ее якобианом заключается в следующем: якобиан является группой и, следовательно, имеет выделенный элемент, а на кривой естественной групповой структуры нет. Лишь только кривая рода 1, отвечающая уравнению t2 = S(s) для кубического полинома S', обладает такой структурой, согласованной с групповой структурой якобиана: умножение здесь задается с помощью секущих, а роль единицы играет бесконечно удаленная точка (см. Приложение 4). S(s) = 4 s3 - Ф 8{х, у) = О Волчок Ковалевской 77 для некоторого однородного симметрического полинома Ф по х и у, имеющего степень 2 по каждой из переменных, а также степень 2 по параметру s. После некоторых (!) вычислений окончательно получаем уравнение которое можно найти на странице 188 работы [55] и в котором Преимущество этого уравнения состоит в следующем: возьмем произвольную точку М = (ж, и) на кривой Е (заметим, между прочим, что - М = (ж,-и)). Зафиксируем также точку Р = (s,f) Е Ef (аналогично, - Р = (s, - t)). Тогда решения уравнения Ф8(х,у) = 0 относительно у имеют вид у(Р + М) и у(Р - М). С другой стороны, если при фиксированном М рассмотреть другую точку М! = (у,г?) Е ?, то решения уравнения Ф8(х,у) = 0 относительно s примут вид Это и есть "таинственная замена переменных", найденная Ковалевской: она заменила х и у переменными s± и s2* В силу (2), имеем 2 4 (х-у)2 (s- у ~4 (*' - R(x,y)+R1(x,y) = О, R(x,y) = -х2у2 + 2 Нху + il(x + у) + 1 - К. 51 = s{M + М') = s(-M' - М) и 52 = s(M - М') = s(M' - М). (2) dsi _ dx , dy ±- = -Ч±-------1----2-- УВД) УВД УВД 78 Глава III 1.2. Линеаризация потока гамильтониана Н Затем Ковалевская рассмотрела уравнение (1) и симметричное -4 { df} =R№ + (x~y?^ ему: {2} -4= R(y) + (y-x)2V и получила .J 1 dsj \ _ {х-у) ( Н , УК I л/ВД*} R(x)R(y) \ 1 6 2 J(i 6+2^ Записав откуда и, аналогично, dt VtW) 81 -82 ds2 VtW) dt S2 ~ si! она вывела дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют s 1 и s2: о _ ds i ds2 j s2ds2 dt = -, -I- (3) VtW) Таким образом, она рассмотрела гиперэллиптическую кривую X, отвечающую уравнению у2 = T(s). Волчок Ковалевской 79 Предложение 1.2.1. Поток гамильтониана Н линеаризуется на якобиане кривой X. Доказательство. Первое, что необходимо сделать, это придать точный смысл формулировке, которая является одновременно классической и непонятной. Кривая X имеет род 2, и замена переменных дает нам дифференциальную систему (3), которую можно представить как дифференциальную систему на симметрической степени X dsi ds2 2/12/2' , _ sidsi s2ds2 ~ 2/i 2/2 ' Рассмотрим отображение Абеля-Якоби: (4) Пусть - решение системы (4). Мы хотим доказать в точности, что и о у: R -> Jac(X) является (образом) прямой (в С2) с линейной параметризацией и что все эти прямые параллельны. Якобиан Jac(X) есть фактор пространства Н° , двойствен- ного к векторному пространству голоморфных форм на X, по периодической решетке Л. В частности, любую голоморфную форму а на X можно рассматривать как 1-форму на якобиане Jac(X). Таким образом, а е я° {&х) является (постоянной) 1-формой на Н° (П^) , т. е., после факторизации, 1- формой на Jac(X). Здесь ds sds У ' У 80 Глава III - базис пространства Н° Пусть (xi^x2) - координаты в двой- ственном пространстве. Положим uoj[t) = (х±(?),ж2(?)). Тогда система (4) на Jac(X) принимает вид dx 1 dt dx 2 , dt = 0, = 1. Следовательно, потоки (их образы) являются прямыми линиями с линейной параметризацией. ¦ Замечание. Это утверждение можно использовать для нахождения решений в терминах ^-функций. Кривая X. Для простоты, положим так что 2S(s) = ip(z) = z3 - 2Hz2 + (H2 + 1 - К) Z - 2.12, ("-| + ^) = |ВД-ВД-"ВД- Уравнение кривой X принимает вид г/2 = ~2<p(z) \(z - н)2 - . Кривая X является (гиперэллиптической) кривой рода 2, гладкой тогда и только тогда, когда полином Ф(г) = -2<p(z) [{z - Я)2 - к] имеет только простые корни. Волчок Ковалевской 81 Я Я К 21г<1 212>1 Рис. 10. Дискриминант в случае Ковалевской
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
