Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 24

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 63 >> Следующая

которые
взяты непосредственно из [55].
76
Глава III
Это позволило ей записать уравнение
?R{y) + yR(x) + Ri(x,y) + к(х - у)2 = о.
Она также заметила, что
-4{§}2 = вд + (*-")Ч
(1)
и решила рассмотреть кривую ? рода 1, отвечающую уравнению и2 = -R(x). Ее
якобиан2 является (изоморфной) кривой ?', заданной уравнением t2 = S(s),
где
Кривая ? является главным однородным пространством относительно действия
группы ?'. Знаки + и -, которые мы будем использовать, относятся к этому
действию.
Рассмотрим голоморфную форму ш = dx/u. Автоморфизмы кривой ?, которые
переводят ш в ±и;, имеют вид М Р±М для некоторой точки Р кривой ?' (см.
работы Хорозова и ван Мербеке [43], а также Вейля [86]). Другими словами,
точки Р кривой ?' параметризуют эти автоморфизмы.
Это можно объяснить с помощью формул. Будем искать автор-
морфизм (ж,и) {y,v) (v2 = R(y))i такой что ^ другими
словами, такой что
Решения этого дифференциального уравнения удовлетворяют соотношению
2Разница между кривой рода 1 и ее якобианом заключается в следующем:
якобиан является группой и, следовательно, имеет выделенный элемент, а на
кривой естественной групповой структуры нет. Лишь только кривая рода 1,
отвечающая уравнению t2 = S(s) для кубического полинома S', обладает
такой структурой, согласованной с групповой структурой якобиана:
умножение здесь задается с помощью секущих, а роль единицы играет
бесконечно удаленная точка (см. Приложение 4).
S(s) = 4 s3 -
Ф 8{х, у) = О
Волчок Ковалевской
77
для некоторого однородного симметрического полинома Ф по х и у, имеющего
степень 2 по каждой из переменных, а также степень 2 по параметру s.
После некоторых (!) вычислений окончательно получаем уравнение
которое можно найти на странице 188 работы [55] и в котором
Преимущество этого уравнения состоит в следующем: возьмем произвольную
точку М = (ж, и) на кривой Е (заметим, между прочим, что - М = (ж,-и)).
Зафиксируем также точку Р = (s,f) Е Ef (аналогично, - Р = (s, - t)).
Тогда решения уравнения Ф8(х,у) = 0 относительно у имеют вид у(Р + М) и
у(Р - М).
С другой стороны, если при фиксированном М рассмотреть другую точку М! =
(у,г?) Е ?, то решения уравнения Ф8(х,у) = 0 относительно s примут вид
Это и есть "таинственная замена переменных", найденная Ковалевской: она
заменила х и у переменными s± и s2* В силу (2), имеем
2
4 (х-у)2 (s- у
~4 (*' - R(x,y)+R1(x,y) = О,
R(x,y) = -х2у2 + 2 Нху + il(x + у) + 1 - К.
51 = s{M + М') = s(-M' - М) и
52 = s(M - М') = s(M' - М).
(2)
dsi _ dx , dy
±- = -Ч±-------1----2--
УВД) УВД УВД
78 Глава III
1.2. Линеаризация потока гамильтониана Н
Затем Ковалевская рассмотрела уравнение (1) и симметричное
-4 { df} =R№ + (x~y?^
ему:
{2}
-4= R(y) + (y-x)2V
и получила
.J 1 dsj \ _ {х-у) ( Н , УК
I л/ВД*} R(x)R(y) \ 1 6 2 J(i 6+2^
Записав
откуда
и, аналогично,
dt
VtW) 81 -82
ds2
VtW)
dt
S2 ~ si!
она вывела дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют s 1 и s2:
о _ ds i ds2
j s2ds2
dt = -, -I-
(3)
VtW)
Таким образом, она рассмотрела гиперэллиптическую кривую X, отвечающую
уравнению у2 = T(s).
Волчок Ковалевской
79
Предложение 1.2.1. Поток гамильтониана Н линеаризуется на якобиане кривой
X.
Доказательство.
Первое, что необходимо сделать, это придать точный смысл формулировке,
которая является одновременно классической и непонятной. Кривая X имеет
род 2, и замена переменных дает нам дифференциальную систему (3), которую
можно представить как дифференциальную систему на симметрической степени
X
dsi ds2 2/12/2'
, _ sidsi s2ds2
~ 2/i 2/2 '
Рассмотрим отображение Абеля-Якоби:
(4)
Пусть
- решение системы (4). Мы хотим доказать в точности, что и о у: R ->
Jac(X) является (образом) прямой (в С2) с линейной параметризацией и что
все эти прямые параллельны.
Якобиан Jac(X) есть фактор пространства Н° , двойствен-
ного к векторному пространству голоморфных форм на X, по периодической
решетке Л. В частности, любую голоморфную форму а на X можно
рассматривать как 1-форму на якобиане Jac(X). Таким образом, а е я° {&х)
является (постоянной) 1-формой на Н° (П^) , т. е., после факторизации, 1-
формой на Jac(X). Здесь
ds sds У ' У
80
Глава III
- базис пространства Н° Пусть (xi^x2) - координаты в двой-
ственном пространстве. Положим uoj[t) = (х±(?),ж2(?)). Тогда система (4)
на Jac(X) принимает вид
dx 1 dt dx 2 , dt
= 0,
= 1.
Следовательно, потоки (их образы) являются прямыми линиями с линейной
параметризацией. ¦
Замечание. Это утверждение можно использовать для нахождения решений в
терминах ^-функций.
Кривая X. Для простоты, положим
так что
2S(s) = ip(z) = z3 - 2Hz2 + (H2 + 1 - К) Z - 2.12,
("-| + ^) = |ВД-ВД-"ВД-
Уравнение кривой X принимает вид
г/2 = ~2<p(z) \(z - н)2 - .
Кривая X является (гиперэллиптической) кривой рода 2, гладкой тогда и
только тогда, когда полином
Ф(г) = -2<p(z) [{z - Я)2 - к] имеет только простые корни.
Волчок Ковалевской
81
Я
Я
К
21г<1
212>1
Рис. 10. Дискриминант в случае Ковалевской
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама