|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  группе Pic0(С). Касательное пространство в любой точке многообразия Picri((7) канонически отождествляется с векторным пространством Н1(Ос) (см. Приложение 4), которое мы рассматриваем как первую группу когомологий, ассоциированную с накрытием С = U+ U Ы- кривой С (см. Приложение 3). Нам понадобится следующая Лемма 2.2.2. 1 -коциклы, определяемые голоморфными функциями р, /i2, р3 на U+ П U-, порождают независимые классы когомологий вН^Ос). Доказательство. Рассмотрим инволюцию р -р на С: функция р2 инвариантна, в то время как две другие антиинвариантны7. Поэтому достаточно проверить, что у определяет нетривиальный элемент в Я^Ов), что очевидно. Необходимо также проверить, что р и р2 порождают независимые элементы в Jf71(Ос), что может быть сделано с помощью вычетов, как в [15], и остается читателю в качестве упражнения. ¦ Интегрируемость. Несложные вычисления показывают, что Res (trL(A)4A_1dA) = 16 [2 (Я2 + l) - К] . Таким образом, используя технику из Приложения 2 (теорема П.2.1.1 об инволюции), получаем Предложение 2.2.3. Две функции Н и К находятся в инволюции. 2.3. Отображение собственных векторов Зафиксируем орбиту О2/ (I ф 0) и рассмотрим совместную поверхность уровня Тн,к первых интегралов в О2/. Эти значения определяют также спектральную кривую Y. Каждому элементу (Г,М) ? 02/, как обычно, соответствует комплексное линейное расслоение F на У, слой 70чень скоро в этом тексте они породят элементы в многообразии Прима. Волчок Ковалевской 89 которого в точке (Л, /х) двойствен собственной прямой матрицы L\ с собственным значением fi. Степень F может быть вычислена следующим образом (см. Приложение 3): с помощью формы (8) легко видеть, что отображение \*F-^Р1 является тривиальным расслоением ранга 4 над Р1(С), причем слой над точкой Л - это сумма двойственных векторных пространств ко всем собственным подпространствам L\, т. е. все пространство С4. Применим теорему Гротендика-Римана-Роха: ch(A*F) td(P1) = A* (ch(F) td(r)) (см. П.4.1), т. е. 4(1+*) = A*((l + du)(l + (l-,g)w)), где t ? Я2(Р1), и ? Я2(У) - очевидные генераторы, d - степень, ко-торую необходимо вычислить, a g, род кривой Y, равен 5. Имеем Л*u=t и А*1 = 4, так как Л имеет степень 4. Таким образом, d - 8, а отображение собственных векторов имеет вид /я,к : Тн,к -> Pics(F). Замечание. На орбите 0_2/ уровень, соответствующий тем же самым значениям интегралов Н и К, отображается в то же самое многообразие Якоби: уравнение кривой Y зависит только от 12. Однако очевидно, что эти два уровня изоморфны, причем изоморфизм имеет вид ((p,q,r), (71,72,73)) '->¦ ({-р, ~q, г), (71,72, -7з)). Из соотношения (9) следует, что если v является собственным вектором матрицы Ь!х с собственным значением д, то rjv является собственным вектором матрицы Ь'х с тем же собственным значением. В частности, t*F изоморфно F, a fa,к принимает значения в образе отображения 7г* : Pic4(С1) ->• Pic8(У), индуцированного накрытием п : Y -> С. 90 Глава III Замечание. Отображение 7г* представляет собой двулистное накрытие своего образа и не является включением как утверждали Бобенко, Рейман и Семенов- Тян-Шанский. В терминах группы гомоморфизмов, ядро его представления 7г* :Pic°(C) Pic0 (У) порождается элементом а+ + а_ - оо+ - оо_ порядка 2, который мы уже рассматривали выше (см. также лемму П.5.3.2). Предложение 2.3.1. Существует поднятие fн,к • Тн,к -"• Pic4 (С) отображения $н,к (тп. е. отображение /н,к такое, что /н,к-^1н,к)- Доказательство. Зафиксируем точку в Тн,Ку другими словами, матричный полином L'x. Рассмотрим голоморфное сечение ф ассоциированного линейного расслоения F, или (двойственно) мероморфное нигде не обращающееся в нуль сечение (Л, /х) н-"- г?(Л, /л) расслоения собственных векторов. Вследствие инвариантности относительно п, если необходимо, умножая v на подходящую функцию, можно считать, что дивизор полюсов функции v имеет вид А + 7г_1(оо+), где А - эффективный дивизор степени 6, удовлетворяющий равенству т*Л = А. Тогда8 А = 7г*Л, где D - эффективный дивизор степени 3 на С. Два элемента группы Pic4(С), которые отображаются в /#,# (2/(А)) являются, таким образом, классами дивизоров D + оо+ и D + а+Н-+а_ - оо_. Чтобы доказать предложение, достаточно проверить, что дивизор D + а+ + а- - оо_ не эквивалентен эффективному дивизору вида Л' + оо+: тогда мы сможем определить /я,к(^'(А)), например, как класс дивизора D + оо+. Предположим, что D Н- а.|_ -|- о.- - оо_ ~ 1)г Н- оо или что D Н- а.|_ -|- а - ^ Df Н- оо_|_ Н- оо_. 8Несмотря на то, что авторы работы [18] были не очень аккуратны по этому вопросу, эта конструкция взята из их работы. Волчок Ковалевской 91 Пусть g - мероморфная функция на С, такая что (g) = Df + оо+ + +оо_ - D - - а-. Тогда ^g - gо 7г является функцией, определенной на F, a gip - мероморфным сечением расслоения F. Его дивизор равен 7г*(Л') + 2тг_1ос+ + 7г_1 ос_ - 7г_1(а+) - 7г_1(а_). Так как D! - эффективный дивизор, то gif; обращается в нуль во всех
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
