|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  касания с кривой, у которой есть точка возврата. 94 Глава III Н 21г<1 21г>1 Рис. 12. Образ отображения момента в случае Ковалевской Критические значения и образ отображения момента показаны на рис. 12. Чтобы доказать, что искомые значения действительно являются критическими, достаточно найти хотя бы одну критическую точку на соответствующем уровне. Например, существуют критические точки вида которые отображаются во все компоненты дискриминанта (как показывают непосредственные вычисления). Это позволяет нам получить все критические значения, как утверждается в предложении 2.4.1. Более трудно (да и к тому же утомительно) проверить непосредственно, как было сделано Харламовым [47], что точки на оставшейся части параболы, не являются критическими. Однако этот факт можно получить с помощью алгебро- геометрической техники, используемой здесь и в [15]: поверхности уровня здесь являются вещественными частями многообразий Прима, которые сингулярны9 ... но без вещественных особых точек (особые точки появляются как пары сопряженных точек, однако они не являются вещественными). Из следствия 2.3.3 вытекает 9Фактически, компактификаций обобщенных многообразий Прима. Волчок Ковалевской 95 Рис. 13. Лиувиллевы торы в случае Ковалевской Предложение 2.4.2. Количество торов Лиувилля на поверхности уровня, соответствующей регулярному значению (К,Н) Е R2, показано на рис. 13. Это одно из утверждений Харламова [47]. Чтобы доказать его, достаточно в каждом случае пронумеровать связные компоненты Ргут((7|?7)н,. Заинтересованного читателя мы отсылаем к работе [15] за недостающими деталями. Единственный трюк, который мы использовали, - это сведение перечисления компонент к перечислению вещественных точек порядка 2, используя тот факт, что число вещественных точек порядка 2 на комплексном торе А размерности g (здесь g - 2) равно 2g • 17г0 (Ап)\. Тот же самый метод можно использовать для изучения бифуркаций торов Лиувилля. Предложение 2.4.3 (Харламов [47], Оден и Силол [15]). Бифуркации лиувиллевых торов для волчка Ковалевской показаны на рис. Ц. Графы, которые изображены в правой части от рисунка, изображают эти бифуркации (вдоль путей, обозначенных а, Ь, с) в стиле Фоменко (см., например, [31]). Для доказательства предложения, во-первых, заметим, что слоение на лиувиллевы торы минимально: симплектическое многообразие 02i является гладким, а особые слои, соответствующие (регулярным) точ- 96 Глава III К 1 4' 3 2 Рис. 14. Бифуркации торов Лиувилля в случае Ковалевской кам дискриминанта общего положения, снабжены нигде не обращающимися в нуль векторными полями, так что они являются объединениями вложенных окружностей, торов или бутылок Клейна и не могут быть чем-либо другим (в противном случае, поверхности имели бы ненулевую эйлерову характеристику). Тогда можно описать устойчивые минимальные модели для вырождений многообразий Прима вдоль дискриминанта. Это самая сложная часть (см. [15]). Волчок Ковалевской 97 3. Пары Лакса для обобщенных вращающихся волчков и приложения 3.1. Пары Лакса для вращающихся волчков В этом пункте мы вкратце объясним, как была найдена пара Лакса, которой мы пользуемся. Мы будем следовать оригинальной работе Бобенко, Реймана и Семенова-Тян-Шанского [18]. Мы находимся в ситуации10, когда дана группа Ли G (будем считать, что G = SO(py q)) с алгеброй Ли д, снабженной инволюцией а. Подгруппу неподвижных точек этой инволюции обозначим через К (будем считать, что К = SO(p) х SO(q)). На уровне алгебры Ли неподвижные и антинеподвижные точки инволюции а (мы используем одну и ту же букву а для инволюции на G и д) дают разложение где (Л, В) Е so(p) х so(q) = ?, с Е (Кр)5 = р; здесь инволюция а имеет вид a(L) = -ьЬ). Группа К действует на д* как подгруппа группы G, и ее действие оставляет 1* и р* инвариантными. Отождествим Т*К и К х t* при помощи левых сдвигов. Рассмотрим подалгебру (она называется скрученной алгеброй петель). Ее можно разложить в сумму алгебр полиномов по А и полиномов по А-1 без постоянного члена. Таким образом, мы имеем ^-матрицу и R-скобки Пуассона (см. Приложение 2). 10Мы приводим конструкцию в полной общности и на каждом шаге иллюстрируем ее на примере, имеющем отношение к вращающимся волчкам. (блочное разложение для so(p, q): Г = {Га е I a(Lx) = Г_А} С д^А"1] 98 Глава III Зафиксируем элементы a, h G р* и определим отображение Т*К ^ К х ц* -> (fc, О I-"• /iA_1 + ? + (AdJ-i -а) А (заметим, что постоянный член ? принадлежит ?*, а коэффициенты при Л-1 и Л принадлежат р*). Тогда справедлива Лемма 3.1.1. Отображение Т*К да есть отображение Пуассона. При необходимости мы отсылаем читателя к оригинальной работе [18]. Используя метод iZ-матриц и АКС-теорему, приведенные в При-ложениии 2, мы строим гамильтоновы системы с большим количеством первых интегралов. Удобно, как в оригинальной работе, сделать несложную (симплек-тическую) замену координат (&, ?) (fc-1, - Ad? •?). Тогда новая "мат-
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
