Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 3

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 63 >> Следующая

свободном стиле. Некоторые более сложные детали будут объяснены в
приложении.
Введение
9
1. Вполне интегрируемые системы
Вполне интегрируемая система представляет собой гамильтонову систему,
которая допускает максимально возможное число первых интегралов. Обычно
принято вводить понятие интегрируемой гамильтоновой системы на
симплектическом многообразии, однако оказывается, что почти все
естественные примеры возникают на пуассоновых многообразиях (подробное
изложение этого вопроса можно найти в работе Ванеке [83]). Мы напомним
здесь лишь некоторые основные определения и результаты и ограничимся
ссылками и указаниями на некоторые понятия и доказательства.
1.1. Пуассоновы структуры и гамильтоновы системы
Пуассоново многообразие есть гладкое многообразие W, на котором задано
кольцо функций C°°(W), снабженное структурой алгебры Ли со свойствами
дифференцирования по каждому аргументу. Это означает, что скобка { , }
должна быть кососимметричной и удовлетворять тождеству Якоби
{/, {g, h}} + {g, {/, h}} + {h, {/, ?}} = 0,
а также правилу Лейбница
{/> gh} = {/, g} h + g{f, h} .
Скобка { , } называется скобкой Пуассона. Поскольку любая функция Н на W
определяет дифференцирование {#, •}, то она задает векторное поле X#,
называемое гамильтоновым векторным полем, по правилу
XH-f = {H,f} = df(XH).
Например, в случае вращающихся волчков многообразие W представляет собой
векторное пространство R3 х R3, которое мы будем рассматривать как
"коалгебру Ли группы движений трехмерного евклидова пространства". На
этом пространстве возникает естественная пуассонова структура (см.
Приложение 1). Отметим, что в качестве пуассоновых многообразий часто
выступают коалгебры Ли.
10
Введение
Функция Я (гамильтониан) задает векторное поле X# (гамильтоново векторное
поле), которое, в свою очередь, определяет дифференциальное уравнение,
гамильтонову систему, ассоциированную с Я.
В силу кососимметричности, {Я, Я} = 0, поэтому бН(Хн) = 0 и Я постоянна
вдоль траекторий X#. Иными словами, решения гамильтоновой системы лежат
на поверхностях уровня Я. В "гамильтоновой" механике Я обычно является
полной энергией системы и не изменяется в процессе движения.
Любая функция /, которая обладает этим свойством (сохраняет постоянное
значение вдоль траекторий), т. е. df{Xu) = 0 (или {Я, /} = 0), называется
первым интегралом. Заметим, что гамильтонова система всегда имеет по
крайней мере один первый интеграл!
Если / Е C°°(W) такова, что {/,#} = 0 для любой функции g на Wj то она
является первым интегралом для любой гамильтоновой системы на W. Такие
функции называются функциями Казимира, или "тривиальными" первыми
интегралами в физической терминологии.
1.2. Вполне интегрируемые системы
на симплектических многообразиях
Важный подкласс пуассоновых многообразий образуют симплек-тические
многообразия. Симплектическое многообразие - это многообразие У,
снабженное невырожденной 2-формой со. Поскольку форма со невырождена, то
она позволяет сопоставить любой функции Я векторное поле X# по правилу
ш (Хн, •) = dH (•).
Таким образом, можно определить скобку на С°°(У):
{f,g} = u(Xg,Xf)=dg{Xf),
которая, очевидно, является кососимметричной и удовлетворяет правилу
Лейбница. В качестве простого и полезного упражнения читателю
предлагается проверить, что эта скобка удовлетворяет тождеству Якоби
тогда и только тогда, когда форма со замкнута. По этой причине
симплектическим многообразием называют многообразие, снабженное
невырожденной замкнутой 2-формой.
Введение
11
В силу невырожденности, размерность многобразия должна быть четной. Это
доказывает, что пуассоновых многобразий намного больше, чем
симплектических (например, существует каноническая нетривиальная
пуассонова структура на R3; см. примеры в Приложении 1). В то же время
симплектические многообразия являются пуассоновыми, а функции на них
задают гамильтоновы системы3.
Определение. Гамильтонова система на 2п-мерном симплектичес-ком
многообразии называется вполне интегрируемой (или просто интегрируемой),
если она обладает п функционально независимыми первыми интегралами
которые попарно коммутируют
(т. е. {HuHj} = 0).
Замечание. Будем писать Х{ = Хнг
• "Функциональная независимость" означает, что существует открытое всюду
плотное подмножество U многообразия V такое, что в любой точке х Е U
дифференциалы dH{(x) (или, что тоже самое, векторы Xi(x)) независимы.
• Поскольку Hi и Hj коммутируют, то и}(X{,Xj) = 0. Следовательно, в точке
общего положения х Е V векторные поля Х{ порождают n-мерное изотропное
подпространство в касательном пространстве TXV. Так как dimV = 2п, то п
является максимально возможной размерностью изотропных подпространств.
Таким образом, п также является максимально возможным числом
(независимых) первых интегралов. В частности, гамильтониан системы
принадлежит алгебре, порожденной функциями Hi.
• В качестве классического упражнения (см. любой учебник по сим-
плектической геометрии, например, Либерманна и Марле [59]) читателю
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама