Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 30

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 63 >> Следующая

рица" принимает вид
hX-1 - AdJ + (Ad^ -а) А.
В конкретном примере G = SO(p,q), и мы окончательно получаем следующую
теорему.
Теорема 3.1.2 (Бобенко, Рейман и Семенов-Тян-Шанс-кий [18]). Пусть А и Н
- два фиксированных элемента в (Rp)r/ (р х q матрицы). Тогда коэффициенты
характеристического полинома матрицы
Та =
0 н '
'н 0
,_(jceki о_\ /
л ^ О гш*г ) + V
' к? к 0 '
0 ruj'r
0 к,А*г
г'Л'к 0
Л
являются функциями четырех аргументов
(fe, г, ?,u;) G SO(p) х SO(q) х во(р)* х &o(q)* = Т* (SO(P) х SO(q)),
которые коммутируют относительно канонической пуассоновой структуры.
Заметим, что матрица L\ инвариантна относительно правого действия
стабилизатора Ка элемента А в группе К. Предположим,
Волчок Ковалевской
99
что q ^ р, и пусть А - матрица, состоящая из первых q векторов
канонического базиса пространства R/\ Тогда Ка состоит из матриц
' к 0 '
0 г
таких что kAtr = А, т. е., в нашем случае, таких что
к =
г 0 '
0 S
для произвольного з Е SO(p-q). Следовательно, сталибизатор Ка изоморфен
SO(q) х SO(p-q) и вложен в качестве подгруппы в SO(p) х SO(q) с помощью
отображения
(г, я)
г 0 о 4
0 S 0
k 0 0 т
Выполним редукцию относительно действия диагональной подгруппы SO(q) (s =
1). Отображение момента р : Т*К -> so(q)* для этого действия имеет вид
(к, г,Си) |-> С +и,
где ?' - матрица, полученная из кососимметричной р х р-матрицы ?
усечением.
Полученное редуцированное фазовое пространство изоморфно T*SO(p).
Заметим, что даже если оно не зависит от д, то первые интегралы, которые
получаются из теоремы 3.1.2, зависят от q. Редукция гамильтониана
Н = Restr (L|A_1rfA)
дает
н= XX + XX-
*J=1 i,j=1 *=1
где обозначения для потенциала более или менее понятны. На самом деле мы
интересуемся квадратичной частью, кинетической энергией.
100 Глава III
Заметим, что удвоение членов q) возникло в процессе редук-
ции, так что этот процесс отвечает за появление гамильтониана типа
Ковалевской (напомним, что вид матрицы тензора инерции приведен в 1.2.1).
Случай волчка Ковалевской соответствует (р, q) = (3,2). Случай (р, q) =
(3,1) дает матрицу Лакса для волчка Лагранжа (см. 3.2).
Возвращаясь к группам Ли общего вида, получаем, что случай G = SX(n,R) и
К - SO(n) дает свободное n-мерное твердое тело (случай Манакова, см.
Главу IV). Рейман и Семенов-Тян-Шанский получили экзотическую систему на
SO(4), положив G = С2 (см. [76]).
3.2. Снова симметричный волчок
Вернемся к случаю симметричного вращающегося волчка. Он описывается
значениями р = 3, q = 1 в приведенной выше конструкции. Используя
обозначения §2, а также Главы I, сформулируем
Предложение 3.2.1 (Бобенко, Рейман и Семенов-Тян-Шанский [18]). В случае
Лагранжа система (Е) эквивалентна уравнению Лакса
±LX = [LX,MX],
где
М'°г оГЛ'о" A0+U оЬ
а М\ - полиномиальная часть (Гд) + матрицы L\.
Замечание. В блочном разложении алгебры so(3,1) любая матрица
записывается в виде
где А Е 5о(3) - кососимметричная матрица, a v Е R3 - вектор.
Следовательно, как векторное пространство $о(3,1) представляется в виде
5о(3) х R3. Структура алгебры Ли задается скобкой
[(Л, г), (Г?, -ш)] = ( [Л, В] + v А гг, А • г/; - В • г).
Волчок Ковалевской
101
Заметим, что эта скобка Ли отлична от скобки Ли, ассоциированной с
алгеброй Ли группы движений, которую мы использовали в 1.1.2.
Спектральные кривые. Спектральная кривая Y задается уравнением
/х4 + (Я' - (А-2 + А2)) /X2 - (сА"1 + K\f = 0
(как обычно, нормализованным в точках А = 0иА = оо). Оно обладает
несколькими инволюциями, среди которых (//, А) (/i, - А). Факторизация
относительно этой инволюции дает кривую С:
/X4 + (Я' - (Z_1 + z)) /X2 - z-1 (с + Kzf = 0.
Рассмотрим отображение /i : С -У Р1 степени 2. Его точки ветвления суть
корни дискриминанта уравнения кривой С, рассматриваемого как уравнение по
z степени 2. Дискриминант этого уравнения имеет
ВИД
Д(/х) = м2<%),
так что 0 всегда (т. е. для всех значений Н и К) является двукратным
корнем А. Это означает, что С всегда имеет двойную точку, следовательно,
спектральная кривая Y всегда имеет две двойные точки.
Мы хотим обсудить этот пример, главным образом, поскольку он показывает,
что нет никакой надежды доказать общее утверждение об эквивалентности
между гладкостью спектральной кривой и регулярностью уровней.
Замечание. Однако мы можем выделить две ветви в двойной точке кривой С,
чтобы получить, вообще говоря, гладкие кривые Y и С. Последняя имеет род
2 и является двулистным накрытием над Е, разветвленным в двух точках.
Если слегка обобщить отображение собственных векторов, то оказывается
возможным отобразить соответствующий уровень в Pie(F). Те же соображения
симметрии, что и в 2.3, показывают, что это обобщенное отображение
собственных векторов можно модифицировать и определить отображение в
Pic(C) со значениями в Prym(C'l-E). Таким образом, мы получаем одномерное
абелево многообразие, которое связано с кривой X рода 1, построенной в
Главе II.
102
Глава III
3.3. Курьезный факт, случай Горячева-Чаплыгина
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама