Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 31

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 63 >> Следующая

Метод iZ-матриц и АКС-теорема (Приложение 2) являются достаточно мощным
аппаратом для построения интегрируемых систем. Однако достаточно сложным
оказывается представить данную систему в лаксовой форлге. Если как-то еще
можно понять, что вышеуказанные методы Бобенко, Реймана и Семенова-Тян-
Шанского [18] дают пары Лакса для волчков Лагранжа и Ковалевской, то
более неожиданным является тот факт, что попутно возникает загадочный
результат: Бобенко и Кузнецов получили в [19] пару Лакса для случая
Горячева-Чаплыгина. Это выглядит подобно кулинарному рецепту: нужно взять
представление пары Лакса для случая Ковалевской, удалить первый столбец и
первую строку обеих матриц ... и все.
Удачным является представление из уравнения (8), слегка преобразованное
подходящим сопряжением (процедура, конечно, достаточно чувствительна к
сопряжению), которое дает:
Предложение 3.3.1 (Бобенко и Кузнецов [19]). В случае Горячева-Чаплыгина
система (Е) из 1.1 эквивалентна следующей:
Доказательство этого предложения опять-таки непосредственное, и мы
оставляем его читателю в качестве упражнения. Из этой пары Лакса получаем
спектральную кривую Y:
(72 - *71) А 1 - 2iА (72 4- "7i)^_1 + 2гА 2 iw
-1
-V 4- in
't rv* A \ 1
И
|Ьл = [?л,Мд].
det(La - /xld) = -/? + (A"2 -2H + 4A2)//, - 2iK,
снабженную инволюцией (A i-> -А), и ее фактор X: -/л3 + (z-1 -2H + 4z)ii
- 2iK = 0.
Волчок Ковалевской
103
В работе [19] найдены решения системы (Е). Оказывается, они могут быть
выражены через квадратные корни из ^-функций, ассоциированных с якобианом
кривой X (это означает, что потоки на якобиане нелинейны). Действительно,
хорошо известно, что в этом случае совместные поверхности уровня
интегралов Н и К являются разветвленными двулистными накрытиями абелевых
поверхностей (см., например, работу Пиована [71]). Заметим, что это
связано со следующим общим принципом: если пара Лакса, которую мы
используем, была получена честным путем, то поток, который она описывает,
линеаризуется на абелевом многообразии и наш уровень обладает
компактификацией, которая является (стандартным) накрытием этого абелева
многообразия11.
С топологической точки зрения уравнения Лакса не очень удобны. Если бы
кривая X обладала вещественной структурой (чтобы это выяснить, нужно
выполнить замену fi на г/х) и была бы эквивалентна кривой, используемой
Горячевым и Чаплыгиным, то было бы справедливо, но не очевидно,
утверждение, что матрица L дает вещественное отображение собственных
векторов.
11 Мы обязаны Алексею Рейману за это замечание, которое является
философским основанием его результатов, изложенных в Приложении 3.
Глава IV Свободное твердое тело
В Главе I мы уже обсуждали пример свободного твердого тела: здесь
возникают уравнения Эйлера М = [М, П\. В этой главе мы хотим показать,
как метод собственных векторов матриц Лакса можно использовать для
доказательства уже полученных результатов (алгебраическое содержание
будет здесь более наглядным). Мы рассмотрим аналогичную задачу о так
называемом четырехмерном свободном твердом теле, которая является
интегрируемой на компактных четырехмерных симплектических многообразиях,
коприсоединенных орбитах группы 50(4). Алгебраические аспекты здесь очень
богаты, но мы не будем обсуждать их все.
1. Уравнения Эйлера и Манакова
1.1. Уравнения Эйлера
Рассмотрим систему (Е) из 1.1 в отсутствии силы тяжести, а именно М = [М,
П], где М и О - две кососимметричные матрицы размера 3 х 3,
удовлетворяющие как векторы пространства R3 соотношению М = JQ.
Может появиться соблазн заменить во(3) на во(п). Такая замена возможна,
если равенство М = Jtt переписать в терминах матриц размера 3 х 3, а
затем обобщить его на случай матриц размера п х п. Это легко сделать,
введя диагональную матрицу J, такую что М = JQ эквивалентно М = VtJ +
JVt\ если J является диагональной матрицей с элементами ai (А* = 1 /а"),
то J - диагональная матрица с элементами 6г*, где
"1=^3 + &25 i 02 = bi + 63, аз = &2 + Ь\.
Свободное твердое тело
105
Общая система на so(n)
Гм = [м,п],
\ м = ш + т
называется системой уравнений Эйлера-Арнольда.
1.2. Уравнения Манакова
Заметим, что уравнение М = [М, С1\ является уравнением Лакса. Однако, как
мы видели в Главе I, решения в случае п - 3 суть эллиптические функции,
так что форма Лакса без спектрального параметра не может быть
использована для решения уравнений.
Поскольку [HJ+JS7, J]=CLJ2-J2$7, то получаем [М+J2A, 0+JA] = = [М, ft].
Следовательно, уравнения Эйлера-Арнольда эквивалентны уравнению Манакова
[60]
jt(M + J2 А) = [М + J2A, П + JA], (1)
т. е. уравнению Лакса со спектральным параметром.
Хотя это уравнение Лакса было известно еще тринадцать лет назад, оно, как
оказалось, принадлежит семейству, описанному1 в работе [18] (см. III.3),
и, кажется, сыграло в теории определенную роль.
2. Трехмерное свободное твердое тело
Воспользуемся уравнением Манакова, чтобы дать другое доказательство
результатов 1.3. В старых обозначениях для J и J заметим, что условия 0 <
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама