Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 33

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 63 >> Следующая

имеем стандартное четырехлистное накрытие с группой Z/2 х Z/2.
¦
Благодаря последнему факту, кривые V и X изоморфны: обе кривые V и X
фактически являются группами (абелевыми многообразиями), и алгебраическое
отображение ip должно быть групповым гомоморфизмом (с точностью до
трансляций) с ядром, изоморфным Z/2 х Z/2. Отсюда можно вывести, что V
действительно изоморфно X, а р> является (с точностью до трансляции)
умножением на 2. Дадим подробное доказательство этого факта. Начнем с
того, что сформулируем и докажем достаточно общую лемму о жесткости,
взятую из книги Мамфорда по абелевым многообразиям [64].
Лемма 2.2.3. Пусть V и X - два абелевых многообразия, и пусть ip : V -У X
- морфизм многообразий. Тогда существует элемент а ? X, такой что ip = /
+ а, где f : V -У X - групповой морфизм.
Доказательство.
Положим f(x) = ip{x) - у>(0), так что /(0) = 0. Мы хотим показать, что /
является морфизмом групп, другими словами, что отображение
^:УхУ-ч1
(х, у) I-> fix + у)~ fix) - fiy)
постоянно (равно нулю). Заметим, что #(ж,0) = g(Q,y) = 0 Уж, у ? V. Пусть
U - аффинная карта в окрестности точки 0 ? X, и пусть F = X - U - ее
дополнение. Множество g~1(F) замкнуто, как и его проекция G на второй
сомножитель V: проекция замкнута, поскольку V компактно. По определению,
0 не принадлежит G, поэтому дополнение V - G представляет собой непустое
открытое подмножество П многообразия V. Пусть у ? П. Тогда g \vx{y} есть
морфизм из компактного многообразия V в открытое аффинное множество U. Он
постоянен и равен нулю. Таким образом, мы показали, что g является
постоянным на непустом открытом подмножестве V х Cl С F х У и,
следовательно, постоянным всюду. ¦
Вернемся к кривым V и X. Отождествим V = C/Ai и X = С/Л2 так, чтобы tp(0)
= 0 (другими словами, трансляция совпадает с отож-
110
Глава IV
дествлением). Следовательно, р является группой гомоморфизмов, которую
можно поднять до отображения р : С С вида z ^ Az для некоторого А ? С.
Так как Kerp = Z/2 х Z/2, то можно предположить, что эти две решетки
совпадают и А = 2 (детали см. в доказательстве предложения 2.2.4). ¦
Замечание. Конечно, можно доказать, что V и X изоморфны, используя
соотношения между А* и 6?, однако это не очень удачный подход (честно
говоря, мы нашли идею настолько непривлекательной, что никогда ею не
воспользовались).
Если посмотреть более внимательно на вещественные структуры в последней
части доказательства, то мы получим
Предложение 2.2.4. Кривая X изоморфна якобиану кривой V 7 причем этот
изоморфизм вещественный. Отображение собственных векторов р является
накрытием со слоем Z/2 х Z/2. Если Уц непусто7 то оно отображается на
одну компоненту связности Xr7 а р определяет двулистное накрытие каждой
компоненты Vr над своим образом.
Доказательство.
Заметим, что Хц всегда непусто, однако это неверно для Vr. Если Уц пусто,
т. е. если h/p2 ^ [Ai,A3], то надо просто заменить У на его якобиан и
продолжить отображение р. Таким образом, мы рассмотрим лишь случай, когда
Tr непусто, так что оба указанные отождествления V = С/Лх и X = С/Л2
могут быть сделаны вещественными. Поскольку обе кривые имеют вещественные
части, состоящие из двух компонент, то можно предположить, что каждая
решетка Aj порождается 1 и некоторым чисто мнимым rj (см. Приложение 4).
Посколь-
ку р - вещественное отображение, то А = р( 1) ? U R • Ы п л"
т. е. А ? Z. Конечно, если А = щ то в Кег р существует элемент порядка п,
такой что А = 2. Имеем p(ri) = 2ri = grr2 для некоторого q ? Z. Учитывая
свойства ядра, получаем q = 2 и Т\ - т2.
Теперь мы все знаем совершенно точно, например, что ограничение р на
вещественную часть кривой V (если она непуста) отображает две компоненты
Уц на те же компоненты A"r и что ограничение этого отображения на каждую
компоненту Уц является двулистным накрытием.
Свободное твердое тело
111
Замечание. Компонента вещественной части Хц из образа содержит точку (р =
Н'/р2,\ = 0), полученную при w = 0.
3. Замечания о четырехмерном твердом теле
Рассмотрим уравнение Манакова (1) на алгебре so(4). Через (0 ^ i ^ 3)
будем обозначать элементы диагональной матрицы J (см. § 1); мы будем
предполагать, что они различны и удовлетворяют неравенству Ь2 < Ь2 < Щ <
Щ.
3.1. Симплектические орбиты и первые интегралы
Запишем кососимметричную матрицу М в виде
М = (ж, у) =
0 -х3 х2 yi \
х3 0 -xi у2
-Х2 XI 0 Уз
-2/1 2/2 -2/3 0 /
и вычислим характеристический полином det (М + A J2 - А/л Id) (как и
выше, собственное значение равно \р), т. е.
з
А4П(^ _м) +А2 (m2/i(х,у) - р.Н(х, у) + К(х,у)) + f2(x,y)2,
i=О
где
л (ж> у) = ^2х2г - норма М,
/2 (х, у) = - пфаффиан М,
Н(х,у) = Y, (bi + bo)xl + \ Y (&i+bi)//L
г=1
3
{i,j,A}={l,2,3}
к(х,у) = Y, ipibl) xi + \ Y (ЬЩ) Vk-
i=1
Напомним, что пфаффиан кососимметричной матрицы - это значение
универсального полинома на элементах матрицы, причем квадрат этого
112
Глава IV
полинома совпадает с определителем (см., например, "Алгебру" Бурба-ки
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама