|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  имеем стандартное четырехлистное накрытие с группой Z/2 х Z/2. ¦ Благодаря последнему факту, кривые V и X изоморфны: обе кривые V и X фактически являются группами (абелевыми многообразиями), и алгебраическое отображение ip должно быть групповым гомоморфизмом (с точностью до трансляций) с ядром, изоморфным Z/2 х Z/2. Отсюда можно вывести, что V действительно изоморфно X, а р> является (с точностью до трансляции) умножением на 2. Дадим подробное доказательство этого факта. Начнем с того, что сформулируем и докажем достаточно общую лемму о жесткости, взятую из книги Мамфорда по абелевым многообразиям [64]. Лемма 2.2.3. Пусть V и X - два абелевых многообразия, и пусть ip : V -У X - морфизм многообразий. Тогда существует элемент а ? X, такой что ip = / + а, где f : V -У X - групповой морфизм. Доказательство. Положим f(x) = ip{x) - у>(0), так что /(0) = 0. Мы хотим показать, что / является морфизмом групп, другими словами, что отображение ^:УхУ-ч1 (х, у) I-> fix + у)~ fix) - fiy) постоянно (равно нулю). Заметим, что #(ж,0) = g(Q,y) = 0 Уж, у ? V. Пусть U - аффинная карта в окрестности точки 0 ? X, и пусть F = X - U - ее дополнение. Множество g~1(F) замкнуто, как и его проекция G на второй сомножитель V: проекция замкнута, поскольку V компактно. По определению, 0 не принадлежит G, поэтому дополнение V - G представляет собой непустое открытое подмножество П многообразия V. Пусть у ? П. Тогда g \vx{y} есть морфизм из компактного многообразия V в открытое аффинное множество U. Он постоянен и равен нулю. Таким образом, мы показали, что g является постоянным на непустом открытом подмножестве V х Cl С F х У и, следовательно, постоянным всюду. ¦ Вернемся к кривым V и X. Отождествим V = C/Ai и X = С/Л2 так, чтобы tp(0) = 0 (другими словами, трансляция совпадает с отож- 110 Глава IV дествлением). Следовательно, р является группой гомоморфизмов, которую можно поднять до отображения р : С С вида z ^ Az для некоторого А ? С. Так как Kerp = Z/2 х Z/2, то можно предположить, что эти две решетки совпадают и А = 2 (детали см. в доказательстве предложения 2.2.4). ¦ Замечание. Конечно, можно доказать, что V и X изоморфны, используя соотношения между А* и 6?, однако это не очень удачный подход (честно говоря, мы нашли идею настолько непривлекательной, что никогда ею не воспользовались). Если посмотреть более внимательно на вещественные структуры в последней части доказательства, то мы получим Предложение 2.2.4. Кривая X изоморфна якобиану кривой V 7 причем этот изоморфизм вещественный. Отображение собственных векторов р является накрытием со слоем Z/2 х Z/2. Если Уц непусто7 то оно отображается на одну компоненту связности Xr7 а р определяет двулистное накрытие каждой компоненты Vr над своим образом. Доказательство. Заметим, что Хц всегда непусто, однако это неверно для Vr. Если Уц пусто, т. е. если h/p2 ^ [Ai,A3], то надо просто заменить У на его якобиан и продолжить отображение р. Таким образом, мы рассмотрим лишь случай, когда Tr непусто, так что оба указанные отождествления V = С/Лх и X = С/Л2 могут быть сделаны вещественными. Поскольку обе кривые имеют вещественные части, состоящие из двух компонент, то можно предположить, что каждая решетка Aj порождается 1 и некоторым чисто мнимым rj (см. Приложение 4). Посколь- ку р - вещественное отображение, то А = р( 1) ? U R • Ы п л" т. е. А ? Z. Конечно, если А = щ то в Кег р существует элемент порядка п, такой что А = 2. Имеем p(ri) = 2ri = grr2 для некоторого q ? Z. Учитывая свойства ядра, получаем q = 2 и Т\ - т2. Теперь мы все знаем совершенно точно, например, что ограничение р на вещественную часть кривой V (если она непуста) отображает две компоненты Уц на те же компоненты A"r и что ограничение этого отображения на каждую компоненту Уц является двулистным накрытием. Свободное твердое тело 111 Замечание. Компонента вещественной части Хц из образа содержит точку (р = Н'/р2,\ = 0), полученную при w = 0. 3. Замечания о четырехмерном твердом теле Рассмотрим уравнение Манакова (1) на алгебре so(4). Через (0 ^ i ^ 3) будем обозначать элементы диагональной матрицы J (см. § 1); мы будем предполагать, что они различны и удовлетворяют неравенству Ь2 < Ь2 < Щ < Щ. 3.1. Симплектические орбиты и первые интегралы Запишем кососимметричную матрицу М в виде М = (ж, у) = 0 -х3 х2 yi \ х3 0 -xi у2 -Х2 XI 0 Уз -2/1 2/2 -2/3 0 / и вычислим характеристический полином det (М + A J2 - А/л Id) (как и выше, собственное значение равно \р), т. е. з А4П(^ _м) +А2 (m2/i(х,у) - р.Н(х, у) + К(х,у)) + f2(x,y)2, i=О где л (ж> у) = ^2х2г - норма М, /2 (х, у) = - пфаффиан М, Н(х,у) = Y, (bi + bo)xl + \ Y (&i+bi)//L г=1 3 {i,j,A}={l,2,3} к(х,у) = Y, ipibl) xi + \ Y (ЬЩ) Vk- i=1 Напомним, что пфаффиан кососимметричной матрицы - это значение универсального полинома на элементах матрицы, причем квадрат этого 112 Глава IV полинома совпадает с определителем (см., например, "Алгебру" Бурба-ки
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
