Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 34

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 63 >> Следующая

[20]). Например, /2 = 0 тогда и только тогда, когда ранг матрицы М меньше
или равен 2.
Очевидно, что Д и Д инвариантны относительно сопряжения ортогональными
матрицами и, следовательно, являются орбитальными инвариантами
присоединенного и коприсоединенного действий группы 50(4). Классическим
результатом (который мы оставляем читателю в качестве упражнения)
является утверждение, что они действительно являются орбитальными
инвариантами и, следовательно, являются функциями Казимира относительно
канонической пуассоновой структуры (см. Приложение 1).
Замечание. Именно пфаффиан Д является орбитальным инвариантом, несмотря
на то, что в характеристическом полиноме появляется его квадрат,
определитель. Ситуация во многом аналогична той, которую мы наблюдали в
III.2.3. Зафиксируем орбиту О/, на которой рассмотрим совместную
поверхность уровня интегралов Н и К: таким образом, Тн является
совместной поверхностью уровня функций Д, /2, Н и К, даже если кривая С
определяет только Д.
Положим щ = Xi -h yi и V{ = Х{ - уг*. Тогда имеем ^2 и! = /1 + 2/г и ^2
v? = h ~ 2/2.
Следовательно, если Д > |2Д|, то орбита О/, пронумерованная функциями Д и
Д, диффеоморфна 52 х 52. Таким образом, мы определили орбиты общего
положения. Если Д = |2Д|, то орбита является двумерной сферой.
Рассмотрим только орбиты О/ общего положения (где / = (Д,Д) и Д > |2Д|),
в частности, будем считать, что Д ф 0. Тогда две функции Н и К являются
первыми интегралами.
Предложение 3.1.1. Функции Н и К находятся в инволюции.
Доказательство.
Для любой матрицы А размера п х п обозначим через (-\)каи коэффициенты
уп~к в det (у Id -А). Таким образом, определены инвариантные функции (Ти
на алгебре Ли g/(n, С) всех матриц. Поскольку Н = Res (сг4 (М + A2 J) A-
3dA) и К = Res (а3 (М + A2 j) X~2d\)
Свободное твердое тело
113
(проверяется непосредственно), то наши первые интегралы связаны с этим
построением. Следовательно, они коммутируют согласно теоремам об
инволюции, приведенным в Приложении 2. ¦
Таким образом, система интегрируема. Выполняя, в случае необходимости,
сдвиг (I I-У (I - 6q, мы можем предположить, что = 0. Тогда первые
интегралы имеют достаточно простой вид:
Н{х,у) = | ^2 (bl + b2j)yl,
г=1 {i,j,к}={1,2,3}
К(х,у) = 1 Y, %ЬЫ-
Замечание. Четыре интеграла Д, Д, Н, К являются квадратичными функциями
от элементов матрицы М, поэтому совместная поверхность уровня
представляет собой пересечение квадрик. Эти алгебраические многообразия
несут богатую структуру, аналогично примеру кривой V меньшей размерности,
приведенному в 1.3.2 и в §2. По этому аспекту имеется достаточно много
работ, например, Адлера и ван Мербеке [3]. "Экзотическая" гамильтонова
система на во{4)* с квадратичным гамильтонианом и дополнительным первым
интегралом степени 4 была простроена Рейманом и Семеновым-Тян-Шанским
(см. [76]) как побочный результат их работы с Бобенко [18] (см. III.3).
3.2. Спектральные кривые
Спектральная кривая С в этом случае задается уравнением
с ¦ Л4 П №-") + л" (м2л - ЦН + К) + si = 0.
г=0
Двулистное накрытие р : С ->¦ Е над кривой Е: з
Е: z2Y[ (bf-^+z (м2Л ~1лН + К)+Л = 0
i=О
114 Глава IV
ID
Рис. 15. Вещественная часть S
(z - Л2) получается факторизацией по инволюции Л -Л.
Предположим, что /2 ф 0. Род кривой Е равен 1, поскольку Е является
двулистным накрытием над Р1, разветвленным в четырех корнях полинома
4
ДМ = (/*2Л - "н + к)2 - 4/1П (ъ2 - р).
i=О
Для простоты введем обозначения:
fi - 4/1 = /1 (! - а2) , где а = -L^- е]0,1[, а также h = i///i, k =
К/f\. Кроме того, обозначим
= П (ь<_ **) '
г=0
так что (/л, гу) - точка на кривой Z рода 1 (рис. 15). Заметим, что мы
имеем дело с двумя различными эллиптическими кривыми, которые играют
здесь разные роли.
Имеем Д(//) = /2?(//), где
8{р) = (//2 - ph + k)2 - a2w(fj,)2.
Накрытие С^Е разветвляется в четырех точках Р{ : (г, //) = (ос, bf)
кривой Е. Так как по предположению эти точки различны, то кривая С
Свободное твердое тело
115
имеет род 3 и является гладкой тогда и только тогда, когда кривая Е
гладкая, т. е. когда четыре корня полинома 6 различны. Величина //
является двукратным корнем полинома (5 тогда и только тогда, когда
= ?'(//) = 0, т. е. тогда и только тогда, когда
h = 2/i + aw'(n), к = /г2 - a (w(fi) - fi wr (//)), где w2 = П {Щ - ц).
Эти уравнения задают параметризацию дискриминанта семейства кривых Е,
если считать h и к переменными.
Замечание. Даже если мы интересуемся только кривыми Е для вещественных
значений h и к и даже если мы интересуемся только их вещественными
точками, то мы обязаны учитывать некоторые невещественные значения
параметра //, которые соответствуют двум сопряженным двукратным корням
полинома 8.
(Аффинная!) кривая ? имеет три вещественные ветви (рис. 15), однако wf
обращается в бесконечность, когда w обращается в нуль (//=&?), поэтому
нужно рассматривать эти три ветви как шесть полуветвей, которые дают
шесть ветвей в (вещественном) дискриминанте. На рис. 16 показаны
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама