Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 35

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 63 >> Следующая

вещественные точки дискриминанта (см. также более детальный рис. 17)3.
Если /2 = 0, то С редуцируется к объединению двойной линии (Л2 = 0) и
гиперэллиптической кривой
^ . \2 _ J. Ц2 -hn + k
х =/l поFrt"
Эта кривая является двулистным накрытием над Р1, разветвленным в точках
Ь2 и в двух корнях /j,i и //2 числителя, поэтому X имеет род 2.
Дискриминант семейства кривых X, параметризуемых значениями h и ку
представляет собой объединение параболы к = h2/4 (числитель в уравнении
кривой X имеет двукратный корень) и четырех прямых к = hb2 - bj
(числитель и знаменатель имеют общий корень), касательных к параболе.
3Напомним, что по предположению Ьо = 0.
116 Глава IV
Рис. 16. Вещественная часть дискриминанта
Замечание.
1) Эти четыре прямые уже встречались в качестве асимптот дискриминанта в
общем случае (/2 / 0).
2) В случае /2 = 0 орбита Of состоит из кососимметричных матриц ранга 2.
Рассматриваемая система в этом случае является "системой Мозера" (см.
[63]), как и, например, система, описывающая геодезические на эллипсоиде
(см. работы Кноррера [52] и автора [13], [11]).
3.3. Регулярные уровни и образ отображения момента
Воспользуемся методом, изложенным в Приложении 3 (П.3.4) и примененным в
II.2.3.4 и III.2.3.4, для доказательства следующего предложения.
Предложение 3.3.1. Если точка (h^k) такова, что кривая Е рода 1
(соответственно, гиперэллиптическая кривая X при f2 = 0) гладкая, то эта
точка является регулярным значением отображения момента.
Доказательство.
Воспользуемся доказательством предложения 3.1.1 и видом отображения,
касательного к отображению собственных векторов, который
Свободное твердое тело 117
получен в Приложении 3. Поскольку собственное значение, соответствующее
точке (А,/х) кривой X, равно А/х, то подпространство пространства Н1
(Оо)? порожденное образами гамильтоновых векторных полей функций Н и X,
порождается также коциклами4 А/х3 и А/х2.
Отметим, что эти два коцикла антиинвариантны относительно инволюции
(А,/х) i-^ (-А,/х). Мы воспользуемся этим замечанием в 3.4.
Проверим теперь, что их классы независимы. Для этого найдем их вычеты по
отношению к некоторым голоморфным формам на С. На кривой С равенство А =
оо имеет место в точности в четырех точках Р0? Pi, P2j Р3- Другими
словами,
С-и+ = {Р^РъР2,Р^}.
Поэтому для любой голоморфной 1-формы а на С соответствие [/] ^2Respi
(fa) определяет линейную форму на Нх(Ос)-
Положим t = 1/z. Тогда уравнение кривой Е принимает вид
t2 + 2ta(fi) + Ь(р) = О,
и становится очевидно, что
dii
СО = ----:---
t + а(/х)
(соответственно, t] = р*со) является голоморфной 1-формой на Е
(соответственно, на С). Простой подсчет дивизоров показывает, что т/, А
г] и А(&о - /х)г/ голоморфны и независимы на С.
Положим и = 1/А и вспомним, что по предположению Ь0 - 0- Поэтому нам
остается лишь проверить, что два вектора
4 Как обычно в этом тексте мы имеем в виду коциклы накрытия С = Ы-\- U Ы-
, см. Приложение 3.
118
Глава IV
Рис. 17.
независимы как векторы в С2. Имеем
Resn ф = м
и2 J
(непосредственное вычисление), так что наши два вектора равны
%-0 г-О
что и завершает доказательство предложения. ¦
Таким образом, критические значения (h,k) принадлежат описанному выше
дискриминанту. Так как орбита Of компактна, то образ отображения (/г, к)
является компактным подмножеством в R2 и, следовательно, содержится в
незаштрихованной части рис. 16, возможные варианты которого в зависимости
от значений параметра а показаны на рис. 17. Для построения рис. 16, 17 и
18 мы использовали программу "Maple". Незаштрихованная часть рис. 17
также содержится в кратком обзоре Ошемкова [68] и его работе в книге
Фоменко [32].
Мы оставляем заинтересованному читателю проверку того, что образ
отображения момента действительно совпадает с незаштрихованной частью
рис. 17 и что все точки дискриминанта, которые принадлежат этой области,
действительно являются критическими точками. Для этого мы предлагаем
рассмотреть точки Xi - yi - 0, xj = yj = О ({*,л С {1,2,3}) в Of.
Свободное твердое тело
119
3.4. Топология: другой подход
Как заметил Хайне, отображение собственных векторов является
четырехлистным накрытием над своим образом.
Предложение 3.4.1 (Хайне [39]). Если /2 ф 0, а кривая С гладкая, то
отображение собственных векторов
является накрытием над своим образом со слоем Z/2xZ/2. Этот образ
изоморфен открытому подмножеству многообразия Prjm(C\E).
Замечание. Степень может быть вычислена с помощью теоремы Рима-на-Роха,
как в Приложении 3 и III.2.3.
После доказательства предложения 3.1.1 становится очевидно, что (рс
является накрывающим отображением. Его образ - подмногообразие,
параллельное Prym((7|.E), поскольку мы заметили, что коциклы
антиинвариантны. Матрицы М = (ж, у), такие что все соответствующие М +
J2Л принадлежат одному и тому же классу сопряженности по модулю GL(4; С)
(и лежат на одной и той же орбите группы 50(4)), задаются в виде
Основным результатом работы Хайне [39] является то, что Т^к можно
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама